2012年高考理数真题试卷（福建卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共10小题）
≤0
B . ∀x∈R，2x＞x2
C . a+b=0的充要条件是 
=﹣1
D . a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
）＞lgx（x＞0）
B . sinx+ 
≥2（x≠kx，k∈Z）
C . x2+1≥2|x|（x∈R）
D . 
（x∈R）
B . 
C . 
D . 
，则下列结论错误的是（ ） 
﹣ 
=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） 
B . 
C . 3
D . 5
，则实数m的最大值为（ ） 
B . 1
C . 
D . 2
则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题： ①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x2）在[1， 
]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x1 ， x2 ， x3 ， x4∈[1，3]，有 
[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
其中真命题的序号是（ ）
二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置．（共5小题）
．
．
的等比数列，则其最大角的余弦值为 
+1，前n项和为Sn ， 则S2012= 
设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1 ， x2 ， x3 ， 则x1x2x3的取值范围是 ． 三、解答题，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．（共5小题）
品牌 | 甲 | 乙 | |||
首次出现故障时间x（年） | 0＜x＜1 | 1＜x≤2 | x＞2 | 0＜x≤2 | x＞2 |
轿车数量（辆） | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 |
每辆利润（万元） | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 |
将频率视为概率，解答下列问题：
（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1 ， 生产一辆乙品牌轿车的利润为X2 ， 分别求X1 ， X2的分布列；
（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．
1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°
5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．
的左焦点为F1 ， 右焦点为F2 ， 离心率e= 
．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8． （Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．
四、选考题（共3小题）
设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A= 
（a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值．
（Ⅱ）求A2的逆矩阵．
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（ 
），圆C的参数方程 
（θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且 
=m，求证：a+2b+3c≥9．