2012年高考理数真题试卷（广东卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共8小题）
1、设i是虚数单位，则复数 
=（ ）
=（ ）
A . 6+5i
B . 6﹣5i
C . ﹣6+5i
D . ﹣6﹣5i
2、设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁UM=（ ）
A . U
B . {1，3，5}
C . {3，5，6}
D . {2，4，6}
3、若向量 
，向量 
，则 
=（ ）
，向量 ，则 =（ ）
A . （﹣2，﹣4）
B . （3，4）
C . （6，10）
D . （﹣6，﹣10）
4、下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A . y=ln（x+2）
B . 
C . 
D . 
C .
D .
5、已知变量x，y满足约束条件 
，则z=3x+y的最大值为（ ）
，则z=3x+y的最大值为（ ）
A . 12
B . 11
C . 3
D . ﹣1
6、某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）
A . 12π
B . 45π
C . 57π
D . 81π
7、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
8、对任意两个非零的平面向量 
和 
，定义 
○ 
= 
，若平面向量 
、 
满足| 
|≥| 
|＞0， 
与 
的夹角 
，且 
○ 
和 
○ 
都在集合 
中，则 
○ 
=（ ）
和 ，定义 ○ = ，若平面向量 、 满足| |≥| |＞0， 与 的夹角 ，且 ○ 和 ○ 都在集合 中，则 ○ =（ ）
A . 
B . 1
C . 
D . 
B . 1
C .
D .
二、填空题：（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（共7小题）
1、不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为
2、
中x3的系数为 ．（用数字作答）
中x3的系数为 ．（用数字作答）
3、已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a22﹣4，则an= ．
4、曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．
5、执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为
6、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为 
（t为参数）和 
（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为 ．
（t为参数）和 （θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为 ．
7、（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则图PA=
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．（共6小题）
1、已知函数 
（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．
（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．
(1)求ω的值；
(2)设 
， 
， 
，求cos（α+β）的值．
， ， ，求cos（α+β）的值．
2、某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
3、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．
4、设数列{an}的前n项和为Sn ， 满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ， 且a1 ， a2+5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有 
．
．
5、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： 
的离心率 
，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．
的离心率 ，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
6、设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
(1)求集合D（用区间表示）；
(2)求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．