2015-2016学年内蒙古包头市高三上学期期末数学试卷（理科）
年级：高三 学科：数学 类型：期末考试 来源：91题库
一、选择题（共12小题）
1、已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（ ）
A . ﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜
B . ﹛x|﹣5＜x＜5﹜
C . ﹛x|﹣3＜x＜5﹜
D . ﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜
2、设a，b，c∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（ ）
A . ad﹣bc=0
B . ac﹣bd=0
C . ac+bd=0
D . ad+bc=0
3、已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（ ）
A . 0.6
B . 0.4
C . 0.3
D . 0.2
4、若变量x，y满足约束条件 
，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A . ﹣1
B . 0
C . 3
D . 4
5、已知双曲线 
﹣ 
=1（a＞0，b＞0）的离心率为 
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A . y=±2x
B . y=± 
x
C . y=± 
x
D . y=± 
x
x
C . y=± x
D . y=± x
6、（x+ 
）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（ ）
）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（ ）
A . ﹣1
B . 
C . 1
D . 2
C . 1
D . 2
7、已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则 
的值为（ ）
的值为（ ） 
A . ﹣1
B . - 
C . 
D . 2
C .
D . 2
8、设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）
A . {x|x＜﹣2或x＞4}
B . {x|x＜0或x＞4}
C . {x|x＜0或x＞6}
D . {x|x＜﹣2或x＞2}
9、如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60°的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（ ）
A . 8π
B . 4π
C . 3π
D . 2π
10、设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，若抛物线的准线与x轴的交点为P，则△PAB的面积为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
11、已知函数f（x）= 
，若对x∈R都有|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围是（ ）
，若对x∈R都有|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围是（ ）
A . （﹣∞，0]
B . [﹣2，0]
C . [﹣2，1]
D . （﹣∞，1]
12、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A . 3
B . 4
C . 5
D . 8
二、填空题（共4小题）
1、设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；
②若α外的一条直线I与α内的一条直线平行，则I∥α
③设α∩β=I，若α内有一条直线垂直于I，则α⊥β
④直线I⊥α的充要条件是I与α内的两条直线垂直．
其中所有的真命题的序号是 ．
2、正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ．
3、已知二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，且其图象的顶点恰好在函数y=log2x的图象上．函数f（x）在x∈[0，2]上的值域是 ．
4、已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题（共8小题）
1、设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn ， n∈N* ．
(1)求a1a2 ， 并求数列{an}的通项公式，
(2)求数列{nan}的前n项和Tn ．
2、空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：
PM2.5 日均浓度 | 0～35 | 35～75 | 75～115 | 115～150 | 150～250 | ＞250 |
空气质量级别 | 一级 | 二级 | 三级 | 四级 | 五级 | 六级 |
空气质量类型 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：
(1)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）
(2)在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
(3)在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．
3、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
(1)证明PC⊥AD；
(2)求二面角A﹣PC﹣D的正弦值．
4、已知动点M（x，y）到直线ι：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求点A的坐标．
5、已知函数 
(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f（x）的单调区间；
(3)设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2 ．
6、如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
(1)BE=EC；
(2)AD•DE=2PB2 ．
7、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 
（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正非负半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，圆的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正非负半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，圆的极坐标方程为ρ=4sinθ．
(1)求直线l被圆截得的弦长；
(2)从极点作圆C的弦，求各弦中点的极坐标方程．
8、设函数f（x）=|x+ 
|+|x﹣a|（a＞0）．
|+|x﹣a|（a＞0）．
(1)证明：f（x）≥2；
(2)若f（3）＜5，求a的取值范围．