2012年高考理数真题试卷（湖北卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共10小题）
1、方程x2+6x+13=0的一个根是（ ）
A . ﹣3+2i
B . 3+2i
C . ﹣2+3i
D . 2+3i
2、命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是（ ）
A . ∃x0∉∁RQ，x03∈Q
B . ∃x0∈∁RQ，x03∉Q
C . ∀x0∉∁RQ，x03∈Q
D . ∀x0∈∁RQ，x03∉Q
3、
已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为 （ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
4、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A . 
B . 3π
C . 
D . 6π
B . 3π
C .
D . 6π
5、设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（ ）
A . 0
B . 1
C . 11
D . 12
6、设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则 
=（ ）
=（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）= 
；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）
；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）
A . ①②
B . ③④
C . ①③
D . ②④
8、
如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A . 1﹣ 
B . 
﹣ 
C .
D .
9、函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（ ）
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
10、我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ 
．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）
．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）
A . d≈ 
B . d≈ 
C . d≈ 
D . d≈ 
B . d≈
C . d≈
D . d≈
二、填空题：（一）必考题（共4小题）
1、设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．
2、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=
3、回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：
（Ⅰ）4位回文数有 个；
（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有 个．
4、如图，双曲线 
=1（a，b＞0）的两顶点为A1 ， A2 ， 虚轴两端点为B1 ， B2 ， 两焦点为F1 ， F2 ． 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 ， 切点分别为A，B，C，D．则：
=1（a，b＞0）的两顶点为A1 ， A2 ， 虚轴两端点为B1 ， B2 ， 两焦点为F1 ， F2 ． 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 ， 切点分别为A，B，C，D．则： （Ⅰ）双曲线的离心率e= ；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 
= ．
三、填空题：（二）选考题（共2小题）
1、如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为 ．
2、（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ= 
与曲线 
（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为 ．
四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6小题）
1、已知向量 
=（cosωx﹣sinωx，sinωx）， 
=（﹣cosωx﹣sinωx，2 
cosωx），设函数f（x）= 
• 
+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（ 
，1）
=（cosωx﹣sinωx，sinωx）， =（﹣cosωx﹣sinωx，2 cosωx），设函数f（x）= • +λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（ ，1）
(1)求函数f（x）的最小正周期；
(2)若y=f（x）的图象经过点（ 
，0）求函数f（x）在区间[0， 
]上的取值范围．
，0）求函数f（x）在区间[0， ]上的取值范围．
2、已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2 ， a3 ， a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
3、如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
(1)当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
(2)当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．
4、根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X | X＜300 | 300≤X＜700 | 700≤X＜900 | X≥900 |
工期延误天数Y | 0 | 2 | 6 | 10 |
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
5、设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
6、（I）已知函数f（x）=rx﹣xr+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．
(1)求f（x）的最小值；
(2)试用（1）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1 ， b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；
(3)请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1 ．