2012年高考理数真题试卷（江苏卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上．（共14小题）
1、已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B=
2、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．
3、设a，b∈R，a+bi= 
（i为虚数单位），则a+b的值为 ．
（i为虚数单位），则a+b的值为 ．
4、图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ．
5、函数f（x）= 
的定义域为 ．
的定义域为 ．
6、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．
7、如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3 ．
8、在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 
的离心率为 
，则m的值为 ．
的离心率为 ，则m的值为 ．
9、如图，在矩形ABCD中，AB= 
，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 
= 
，则 
的值是
，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 = ，则 的值是 
10、设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）= 
其中a，b∈R．若 
= 
，则a+3b的值为 ．
其中a，b∈R．若 = ，则a+3b的值为 ．
11、设α为锐角，若cos（α+ 
）= 
，则sin（2α+ 
）的值为 ．
）= ，则sin（2α+ ）的值为 ．
12、在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．
13、已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为 ．
14、已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则 
的取值范围是 ．
的取值范围是 ． 二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6小题）
1、在△ABC中，已知 
．
．
(1)求证：tanB=3tanA；
(2)若cosC= 
，求A的值．
，求A的值．
2、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1 ， D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE．
3、如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣ 
（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． 
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
4、若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；
(3)设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．
5、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e， 
）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e， ）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． 
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．
（i）若AF1﹣BF2= 
，求直线AF1的斜率；
（ii）求证：PF1+PF2是定值．
6、已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1= 
，n∈N* ，
，n∈N* ，
(1)设bn+1=1+ 
，n∈N*，求证：数列{ 
}是等差数列；
，n∈N*，求证：数列{ }是等差数列；
(2)设bn+1= 
• 
，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．
• ，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． 三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题）
1、
(1)
[选修4﹣1：几何证明选讲]
如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．
求证：∠E=∠C．
(2)[选修4﹣2：矩阵与变换]
已知矩阵A的逆矩阵 
，求矩阵A的特征值．
(3)[选修4﹣4：坐标系与参数方程]
在极坐标中，已知圆C经过点P（ 
， 
），圆心为直线ρsin（θ﹣ 
）=﹣ 
与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
(4)[选修4﹣5：不等式选讲]
已知实数x，y满足：|x+y|＜ 
，|2x﹣y|＜ 
，求证：|y|＜ 
．
2、设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．
(1)求概率P（ξ=0）；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．
3、设集合Pn={1，2，…，n}，n∈N* ． 记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈ 
A，则2x∉ 
A．
(1)求f（4）；
(2)求f（n）的解析式（用n表示）．