2012年高考理数真题试卷（上海卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、填空题（共14小题）
1、计算： 
= （i为虚数单位）．
= （i为虚数单位）．
2、若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B= ．
3、函数f（x）= 
的值域是 ．
的值域是 ．
4、若 
=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．
=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．
5、在 
的二项展开式中，常数项等于 ．
的二项展开式中，常数项等于 ．
6、有一列正方体，棱长组成以1为首项、 
为公比的等比数列，体积分别记为V1 ， V2 ， …，Vn ， …，则 
（V1+V2+…+Vn）═ ．
为公比的等比数列，体积分别记为V1 ， V2 ， …，Vn ， …，则 （V1+V2+…+Vn）═ ．
7、已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是 ．
8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ．
9、已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ．
10、如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a= 
，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= ．
，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= ． 
11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）．
12、在平行四边形ABCD中，∠A= 
，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足 
= 
，则 
的取值范围是 ．
，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足 = ，则 的取值范围是 ．
13、已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（ 
，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为 ．
，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为 ．
14、如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 ．
二、选择题（共4小题）
1、若1+ 
i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（ ）
i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（ ）
A . b=2，c=3
B . b=﹣2，c=3
C . b=﹣2，c=﹣1
D . b=2，c=﹣1
2、在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（ ）
A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D . 不能确定
3、设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104 ， x5=105 ， 随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值 
、 
、 
、 
、 
的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（ ）
、 、 、 、 的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（ ）
A . Dξ1＞Dξ2
B . Dξ1=Dξ2
C . Dξ1＜Dξ2
D . Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关
4、设an= 
sin 
，Sn=a1+a2+…+an ， 在S1 ， S2 ， …S100中，正数的个数是（ ）
sin ，Sn=a1+a2+…+an ， 在S1 ， S2 ， …S100中，正数的个数是（ ）
A . 25
B . 50
C . 75
D . 100
三、解答题（共5小题）
1、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2 
，PA=2，求：
，PA=2，求： 
(1)三角形PCD的面积；
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
2、已知f（x）=lg（x+1）
(1)若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
(2)若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．
3、海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线 
；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
(1)当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
4、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
(3)设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
5、对于数集X={﹣1，x1 ， x2 ， …，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn ， n≥2，定义向量集Y={ 
=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意 
，存在 
，使得 
，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．
=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．
(1)若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；
(3)若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1 ， x2 ， …，xn的通项公式．