2013年高考理数真题试卷（北京卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（共8小题）
1、已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A . {0}
B . {﹣1，0}
C . {0，1}
D . {﹣1，0，1}
2、在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
3、“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（ ）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
4、
执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A . 1
B . 
C . 
D . 
C .
D .
5、函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ ）
A . ex+1
B . ex﹣1
C . e﹣x+1
D . e﹣x﹣1
6、若双曲线 
的离心率为 
，则其渐近线方程为（ ）
的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A . y=±2x
B . 
C . 
D . 
C .
D .
7、直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）
A . 
B . 2
C . 
D . 
B . 2
C .
D .
8、设关于x，y的不等式组 
表示的平面区域内存在点P（x0 ， y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（ ）
表示的平面区域内存在点P（x0 ， y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
二、填空题（共6小题）
1、在极坐标系中，点（2， 
）到直线ρsinθ=2的距离等于 ．
）到直线ρsinθ=2的距离等于 ．
2、若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= ．
3、如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD= ，AB= ．
4、将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
5、向量 
， 
， 
在正方形网格中的位置如图所示，若 
（λ，μ∈R），则 
= ．
， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若 （λ，μ∈R），则 = ． 
6、如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 ．
三、解答题．解答应写出文字说明，演算步骤（共6小题）
1、在△ABC中，a=3，b=2 
，∠B=2∠A．
，∠B=2∠A．
(1)求cosA的值；
(2)求c的值．
2、如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
3、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求 
的值．
的值．
4、设l为曲线C：y= 
在点（1，0）处的切线．
在点（1，0）处的切线．
(1)求l的方程；
(2)证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．
5、已知A，B，C是椭圆W： 
上的三个点，O是坐标原点．
上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
6、已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An ， 第n项之后各项an+1 ， an+2…的最小值记为Bn ， dn=An﹣Bn ．
(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N* ， an+4=an），写出d1 ， d2 ， d3 ， d4的值；
(2)设d是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
(3)证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．