2013年高考理数真题试卷（福建卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.（共10小题）
1、已知复数z的共轭复数 
（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2、已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（ ）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
3、双曲线 
的顶点到渐近线的距离等于（ ）
的顶点到渐近线的距离等于（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
4、某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A . 588
B . 480
C . 450
D . 120
5、满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ）
A . 14
B . 13
C . 12
D . 10
6、阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（ ）
A . 计算数列{2n﹣1}的前10项和
B . 计算数列{2n﹣1}的前9项和
C . 计算数列{2n﹣1}的前10项和
D . 计算数列{2n﹣1}的前9项和
7、在四边形ABCD中， 
=（1，2）， 
=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
=（1，2）， =（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A . 
B . 2 
C . 5
D . 10
B . 2
C . 5
D . 10
8、设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A . ∀x∈R，f（x）≤f（x0）
B . ﹣x0是f（﹣x）的极小值点
C . ﹣x0是﹣f（x）的极小值点
D . ﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
9、已知等比数列{an}的公比为q，记bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+…+am（n﹣1）+m ， cn=am（n﹣1）+1•am（n﹣1）+2•…•am（n﹣1）+m ， （m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（ ）
A . 数列{bn}为等差数列，公差为qm
B . 数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C . 数列{cn}为等比数列，公比为 
D . 数列{cn}为等比数列，公比为 
D . 数列{cn}为等比数列，公比为
10、设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1 ， x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A . A=N* ， B=N
B . A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}
C . A={x|0＜x＜1}，B=R
D . A=Z，B=Q
二、填空题：把答案填写在答题卡的相应位置.（共5小题）
1、利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为 ．
2、已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．
3、如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC= 
，AB=3 
，AD=3，则BD的长为 ．
，AB=3 ，AD=3，则BD的长为 ． 
4、椭圆Γ： 
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 焦距为2c，若直线y= 
与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， 则该椭圆的离心率等于 ．
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 焦距为2c，若直线y= 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， 则该椭圆的离心率等于 ．
5、当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…= 
两边同时积分得： 
dx+ 
xdx+ 
x2dx+…+ 
xndx+…= 
dx
从而得到如下等式：1× 
+ 
×（ 
）2+ 
×（ 
）3+…+ 
×（ 
）n+1+…=ln2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
× 
+ 
×（ 
）2+ 
×（ 
）3+…+ 
×（ 
）n+1= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共8小题）
1、某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 
，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 
，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
2、已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
(1)当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
(2)求函数f（x）的极值．
3、如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1 ， A2 ， …，A9和B1 ， B2 ， …，B9 ， 连接OBi ， 过Ai作x轴的垂线与OBi ， 交于点 
．
． 
(1)求证：点 
都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．
4、
如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1
(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为 
，求k的值
，求k的值
(3)现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
5、已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（ 
，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 
单位长度后得到函数g（x）的图象．
，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 单位长度后得到函数g（x）的图象．
(1)求函数f（x）与g（x）的解析式
(2)是否存在x0∈（ 
），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
(3)求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
6、选修4﹣2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵 
对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
(1)求实数a，b的值
(2)若点P（x0 ， y0）在直线l上，且 
，求点P的坐标．
，求点P的坐标．
7、选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为 
，直线l的极坐标方程为 
，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为 
，试判断直线l与圆C的位置关系．
，试判断直线l与圆C的位置关系．
8、设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且 
(1)求a的值
(2)求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．