2013年高考理数真题试卷（湖北卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共10小题）
1、在复平面内，复数z= 
（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2、已知全集为R，集合A={x|（ 
）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁RB）=（ ）
）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁RB）=（ ）
A . {x|x≤0}
B . {x|2≤x≤4}
C . {x|0≤x＜2或x＞4}
D . {x|0＜x≤2或x≥4}
3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A . （￢p）∨（￢q）
B . p∨（￢q）
C . （￢p）∧（￢q）
D . p∨q
4、将函数 
的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
5、已知0＜θ＜ 
，则双曲线 
与C2： 
﹣ 
=1的（ ）
，则双曲线 与C2： ﹣ =1的（ ）
A . 实轴长相等
B . 虚轴长相等
C . 焦距相等
D . 离心率相等
6、已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 
在 
方向上的投影为（ ）
在 方向上的投影为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 
的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）
的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）
A . 1+25ln5
B . 8+25ln 
C . 4+25ln5
D . 4+50ln2
C . 4+25ln5
D . 4+50ln2
8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1 ， V2 ， V3 ， V4 ， 上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）
A . V1＜V2＜V4＜V3
B . V1＜V3＜V2＜V4
C . V2＜V1＜V3＜V4
D . V2＜V3＜V1＜V4
9、
如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
10、已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
二、填空题：请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．）（共6小题）
1、
从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）直方图中x的值为 ；
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为 ．
2、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i= ．
3、设x，y，z∈R，且满足： 
，则x+y+z= ．
，则x+y+z= ．
4、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为 
．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数 
，
正方形数N（n，4）=n2 ，
五边形数 
，
六边形数N（n，6）=2n2﹣n，
…
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）= ．
5、（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则 
的值为 ．
6、（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为 
为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为 
为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为 ．
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6小题）
1、在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S=5 
，b=5，求sinBsinC的值．
，b=5，求sinBsinC的值．
2、已知等比数列{an}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得 
？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
3、如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
(2)设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足 
．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．
．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．
4、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0 ．
(1)求p0的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
5、如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1 ， C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记 
，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2 ．
，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2 ． 
(1)当直线l与y轴重合时，若S1=λS2 ， 求λ的值；
(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．
6、设n是正整数，r为正有理数．
(1)求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（参考数据： 
．
(2)证明： 
；
；
(3)设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如 
．令 
的值．
．令 的值．