2013年高考理数真题试卷（湖南卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共8小题）
1、复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2、某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A . 抽签法
B . 随机数法
C . 系统抽样法
D . 分层抽样法
3、在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB= 
b，则角A等于（ ）
b，则角A等于（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
4、若变量x，y满足约束条件 
，则x+2y的最大值是（ ）
，则x+2y的最大值是（ ）
A . 
B . 0
C . 
D . 
B . 0
C .
D .
5、函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（ ）
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
6、已知 
， 
是单位向量， 
，若向量 
满足 
，则 
的取值范围为（ ）
， 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）
A . 1
B . 
C . 
D . 
C .
D .
8、
在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）
A . 2
B . 1
C . 
D . 
D .
二、填空题（共8小题）
1、在平面直角坐标系xOy中，若直线l： 
，（t为参数）过椭圆C： 
（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 ．
，（t为参数）过椭圆C： （θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 ．
2、已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为 ．
3、如图，在半径为 
的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为 ．
的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为 ． 
4、若 
，则常数T的值为 ．
，则常数T的值为 ．
5、执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为 ．
6、设F1 ， F2是双曲线C： 
（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为 ．
（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为 ．
7、设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣ 
，n∈N* ， 则
，n∈N* ， 则 ①a3= ；
②S1+S2+…+S100= ．
8、设函数f（x）=ax+bx﹣cx ， 其中c＞a＞0，c＞b＞0．
(1)记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为 ．
(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
②∃x∈R，使ax ， bx ， cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6小题）
1、已知函数f（x）=sin（x﹣ 
）+cos（x﹣ 
），g（x）=2sin2 
．
）+cos（x﹣ ），g（x）=2sin2 ．
(1)若α是第一象限角，且f（α）= 
，求g（α）的值；
，求g（α）的值；
(2)求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
2、某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X | 1 | 2 | 3 | 4 |
Y | 51 | 48 | 45 | 42 |
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
3、如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
4、
在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
5、过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1 ， k2的两条不同直线l1 ， l2 ， 且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
(1)若k1＞0，k2＞0，证明： 
；
；
(2)若点M到直线l的距离的最小值为 
，求抛物线E的方程．
，求抛物线E的方程．
6、已知a＞0，函数 
．
．
(1)记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
(2)是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．