2013年高考理数真题试卷（江苏卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、填空题：请把答案填写在答题卡相印位置上．（共14小题）
1、函数y=3sin（2x+ 
）的最小正周期为 ．
）的最小正周期为 ．
2、设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为 ．
3、双曲线 
的两条渐近线方程为 ．
的两条渐近线方程为 ．
4、集合{﹣1，0，1}共有 个子集．
5、如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ．
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 |
甲 | 87 | 91 | 90 | 89 | 93 |
乙 | 89 | 90 | 91 | 88 | 92 |
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．
7、现在某类病毒记作XmYn ， 其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为 ．
8、如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1 ， 三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2 ， 则V1：V2= ．
9、抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是 ．
10、设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD= 
AB，BE= 
BC，若 
=λ1 
+λ2 
（λ1 ， λ2为实数），则λ1+λ2的值为 ．
AB，BE= BC，若 =λ1 +λ2 （λ1 ， λ2为实数），则λ1+λ2的值为 ．
11、已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为 ．
12、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为 
（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1 ， F到l的距离为d2 ， 若d2= 
，则椭圆C的离心率为 ．
（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1 ， F到l的距离为d2 ， 若d2= ，则椭圆C的离心率为 ．
13、在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y= 
（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2 
，则满足条件的实数a的所有值为 ．
（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2 ，则满足条件的实数a的所有值为 ．
14、在正项等比数列{an}中， 
，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为 ．
，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为 ． 二、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共12小题）
1、已知 
=（cosα，sinα）， 
=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
=（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
(1)若| 
﹣ 
|= 
，求证： 
⊥ 
；
﹣ |= ，求证： ⊥ ；
(2)设 
=（0，1），若 
+ 
= 
，求α，β的值．
=（0，1），若 + = ，求α，β的值．
2、
如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA．
3、
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
4、如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA= 
，cosC= 
，cosC= 
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
5、设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn= 
，n∈N* ， 其中c为实数．
，n∈N* ， 其中c为实数．
(1)若c=0，且b1 ， b2 ， b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；
(2)若{bn}是等差数列，证明：c=0．
6、设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a为实数．
(1)若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
(2)若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．
7、如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．
求证：AC=2AD．
8、已知矩阵A= 
，B= 
，求矩阵A﹣1B．
，B= ，求矩阵A﹣1B．
9、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 
（ 为参数），曲线C的参数方程为 
（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
（ 为参数），曲线C的参数方程为 （t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
10、已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．
11、如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．
12、设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…， 
，…，即当 
＜n≤ 
（k∈N*）时， 
．记Sn=a1+a2+…+an（n∈N∗）．对于l∈N∗ ， 定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N∗ ， 且1≤n≤l}
，…，即当 ＜n≤ （k∈N*）时， ．记Sn=a1+a2+…+an（n∈N∗）．对于l∈N∗ ， 定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N∗ ， 且1≤n≤l}
(1)求P11中元素个数；
(2)求集合P2000中元素个数．