2013年全国高考理数真题试卷（新课标Ⅰ卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（共12小题）
1、已知集合A={x|x2﹣2x＞0}， 
，则（ ）
，则（ ）
A . A∩B=∅
B . A∪B=R
C . B⊆A
D . A⊆B
2、若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ）
A . ﹣4
B . 
C . 4
D . 
C . 4
D .
3、为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A . 简单的随机抽样
B . 按性别分层抽样
C . 按学段分层抽样
D . 系统抽样
4、已知双曲线C： 
（a＞0，b＞0）的离心率为 
，则C的渐近线方程为（ ）
（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则C的渐近线方程为（ ）
A . y= 
B . y= 
C . y=±x
D . y= 
B . y=
C . y=±x
D . y=
5、执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）
A . [﹣3，4]
B . [﹣5，2]
C . [﹣4，3]
D . [﹣2，5]
6、
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ）
A . 3
B . 4
C . 5
D . 6
8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A . 16+8π
B . 8+8π
C . 16+16π
D . 8+16π
9、设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）
A . 5
B . 6
C . 7
D . 8
10、已知椭圆E： 
的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ）
的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
11、已知函数f（x）= 
，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）
，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A . （﹣∞，0]
B . （﹣∞，1]
C . [﹣2，1]
D . [﹣2，0]
12、设△AnBnCn的三边长分别为an ， bn ， cn ， △AnBnCn的面积为Sn ， n=1，2，3…若b1＞c1 ， b1+c1=2a1 ， an+1=an ， 
， 
，则（ ）
， ，则（ ）
A . {Sn}为递减数列
B . {Sn}为递增数列
C . {S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D . {S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列
二、填空题（共4小题）
1、已知两个单位向量 
， 
的夹角为60°， 
=t 
+（1﹣t） 
．若 
• 
=0，则t= ．
， 的夹角为60°， =t +（1﹣t） ．若 • =0，则t= ．
2、若数列{an}的前n项和为Sn= 
an+ 
，则数列{an}的通项公式是an= ．
an+ ，则数列{an}的通项公式是an= ．
3、设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．
4、若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（共5小题）
1、如图，在△ABC中，∠ABC=90°， 
，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90° 
(1)若 
，求PA；
，求PA；
(2)若∠APB=150°，求tan∠PBA．
2、如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°．
(1)证明AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
3、一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 
，且各件产品是否为优质品相互独立．
，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
4、已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
5、已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.（共3小题）
1、如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
(1)证明：DB=DC；
(2)设圆的半径为1，BC= 
，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
2、（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
已知曲线C1的参数方程为 
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
3、已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
(1)当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
(2)设a＞﹣1，且当 
时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．