2013年全国高考理数真题试卷（新课标Ⅱ卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共12小题）
1、已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（ ）
A . {0，1，2}
B . {﹣1，0，1，2}
C . {﹣1，0，2，3}
D . {0，1，2，3}
2、设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）
A . ﹣1+i
B . ﹣1﹣i
C . 1+i
D . 1﹣i
3、等比数列{an}的前n项和为Sn ， 已知S3=a2+10a1 ， a5=9，则a1=（ ）
A . 
B . - 
C . 
D . - 
B . -
C .
D . -
4、已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A . α∥β且l∥α
B . α⊥β且l⊥β
C . α与β相交，且交线垂直于l
D . α与β相交，且交线平行于l
5、已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（ ）
A . ﹣4
B . ﹣3
C . ﹣2
D . ﹣1
6、
执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
8、设a=log36，b=log510，c=log714，则（ ）
A . c＞b＞a
B . b＞c＞a
C . a＞c＞b
D . a＞b＞c
9、已知a＞0，实数x，y满足： 
，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）
，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）
A . 2
B . 1
C . 
D . 
D .
10、已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A . ∃xα∈R，f（xα）=0
B . 函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C . 若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减
D . 若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0
11、设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A . y2=4x或y2=8x
B . y2=2x或y2=8x
C . y2=4x或y2=16x
D . y2=2x或y2=16x
12、已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A . （0，1）
B . 
C . 
D . 
C .
D .
二、填空题（共4小题）
1、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 
= ．
= ．
2、从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 
，则n= ．
，则n= ．
3、设θ为第二象限角，若 
，则sinθ+cosθ= ．
，则sinθ+cosθ= ．
4、等差数列{an}的前n项和为Sn ， 已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：（共8小题）
1、△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
(1)求B；
(2)若b=2，求△ABC面积的最大值．
2、如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= 
AB．
AB． 
(1)证明：BC1∥平面A1CD
(2)求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．
3、经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为x的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．
4、平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： 
（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ 
=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 
．
（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 ．
(1)求M的方程
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
5、已知函数f（x）=ex﹣ln（x+m）
(1)设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
(2)当m≤2时，证明f（x）＞0．
6、如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
7、选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C： 
上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
8、设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
(1)
(2)
． 