2013年高考理数真题试卷（辽宁卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共12小题）
1、复数 
的模长为（ ）
的模长为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 2
B .
C .
D . 2
2、已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ）
A . （0，1）
B . （0，2]
C . （1，2）
D . （1，2]
3、已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量 
同方向的单位向量为（ ）
同方向的单位向量为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
4、下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列 
是递增数列；
p4：数列{an+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A . p1 ， p2
B . p3 ， p4
C . p2 ， p3
D . p1 ， p4
5、某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
A . 45
B . 50
C . 55
D . 60
6、在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA= 
b，且a＞b，则∠B=（ ）
b，且a＞b，则∠B=（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、使得（3x+ 
）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
8、
执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
9、已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A . b=a3
B . 
C . 
D . 
C .
D .
10、已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
11、已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2 ， g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A . 16
B . ﹣16
C . ﹣16a2﹣2a﹣16
D . 16a2+2a﹣16
12、设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）= 
，f（2）= 
，则x＞0时，f（x）（ ）
，f（2）= ，则x＞0时，f（x）（ ）
A . 有极大值，无极小值
B . 有极小值，无极大值
C . 既有极大值又有极小值
D . 既无极大值也无极小值
二、填空题（共4小题）
1、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
2、已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1 ， a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．
3、已知椭圆 
的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= 
，则C的离心率e= ．
的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= ，则C的离心率e= ．
4、为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共8小题）
1、设向量 
， 
， 
．
， ， ．
(1)若 
，求x的值；
，求x的值；
(2)设函数 
，求f（x）的最大值．
，求f（x）的最大值．
2、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．
3、现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是 
，答对每道乙类题的概率都是 
，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
4、如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0 ， y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣ 
时，切线MA的斜率为﹣ 
．
时，切线MA的斜率为﹣ ． 
(1)求P的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
5、已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x ， g（x）=ax+ 
+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，
+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，
(1)求证： 
；
；
(2)若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
6、如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：
(1)∠FEB=∠CEB；
(2)EF2=AD•BC．
7、在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1 ， 直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（ 
）=2 
．
）=2 ．
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为 
（t∈R为参数），求a，b的值．
（t∈R为参数），求a，b的值．
8、已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1
(1)当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．