2013年春季高考理数真题试卷（上海卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、填空题（共12小题）
1、函数y=log2（x+2）的定义域是 ．
2、方程2x=8的解是 ．
3、抛物线y2=8x的准线方程是 ．
4、函数y=2sinx的最小正周期是 ．
5、已知向量 
， 
．若 
，则实数k= ．
， ．若 ，则实数k= ．
6、函数y=4sinx+3cosx的最大值是 ．
7、复数2+3i（i是虚数单位）的模是 ．
8、在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b= ．
9、正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为 ．
10、从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）．
11、若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn= ．
12、36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32 ， 所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 ．
二、选择题本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．（共12小题）
1、展开式为ad﹣bc的行列式是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
2、设f﹣1（x）为函数f（x）= 
的反函数，下列结论正确的是（ ）
的反函数，下列结论正确的是（ ）
A . f﹣1（2）=2
B . f﹣1（2）=4
C . f﹣1（4）=2
D . f﹣1（4）=4
3、直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ）
A . （2，﹣3）
B . （2，3）
C . （﹣3，2）
D . （3，2）
4、函数f（x）= 
的大致图象是（ ）
的大致图象是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
5、如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A . 
B . ab＜b2
C . ﹣ab＜﹣a2
D . 
B . ab＜b2
C . ﹣ab＜﹣a2
D .
6、若复数z1 ， z2满足z1= 
，则z1 ， z2在复数平面上对应的点Z1 ， Z2（ ）
，则z1 ， z2在复数平面上对应的点Z1 ， Z2（ ）
A . 关于x轴对称
B . 关于y轴对称
C . 关于原点对称
D . 关于直线y=x对称
7、（1+x）10的二项展开式中的一项是（ ）
A . 45x
B . 90x2
C . 120x3
D . 252x4
8、既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（ ）
A . y=sinx
B . y=cosx
C . y=sin2x
D . y=cos2x
9、若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ）
A . 1：2
B . 1：4
C . 1：8
D . 1：16
10、设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（ ）
A . Z∪∁UN
B . N∩∁UN
C . ∁U（∁u∅）
D . ∁U{0}
11、已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（ ）
A . 充分非必要条件
B . 必要非充分条件
C . 充要条件
D . 既非充分又非必要条件
12、已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若 
=λ 
• 
，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（ ）
=λ • ，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（ ）
A . 圆
B . 椭圆
C . 双曲线
D . 抛物线
三、解答题，本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．（共7小题）
1、如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为 
，求该三棱柱的体积．
，求该三棱柱的体积． 
2、如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．
3、已知数列{an}的前n项和为 
，数列{bn}满足 
，求 
．
，数列{bn}满足 ，求 ．
4、已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1 ， B2
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且 
，求直线l的方程．
，求直线l的方程．
5、已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．
(1)点A，P满足 
．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
(2)在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
6、在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn ， 且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn ， n∈N* ．
(1)若 
，求点A的坐标；
，求点A的坐标；
(2)若点A的坐标为（0，8 
），求θn的最大值及相应n的值．
），求θn的最大值及相应n的值．
7、已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．
(1)将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
(2)求函数h（x）= 
图象对称中心的坐标；
图象对称中心的坐标；
(3)已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．