2013年高考理数真题试卷（四川卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． （共10小题）
1、设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（ ）
A . {﹣2}
B . {2}
C . {﹣2，2}
D . ∅
2、如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）
A . A
B . B
C . C
D . D
3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
4、设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A . ￢p：∀x∈A，2x∉B
B . ￢p：∀x∉A，2x∉B
C . ￢p：∃x∉A，2x∈B
D . ￢p：∃x∈A，2x∉B
5、
函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ 
＜φ＜ 
）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
6、抛物线y2=4x的焦点到双曲线 
的渐近线的距离是（ ）
的渐近线的距离是（ ）
A . 
B . 
C . 1
D . 
B .
C . 1
D .
7、函数 
的图象大致是（ ）
的图象大致是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
8、从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（ ）
A . 9
B . 10
C . 18
D . 20
9、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
10、设函数
（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0 ， y0）使得f（f（y0））=y0 ， 则a的取值范围是（ ）
（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0 ， y0）使得f（f（y0））=y0 ， 则a的取值范围是（ ）
A . [1，e]
B . [e﹣1﹣1，1]
C . [1，e+1]
D . [e﹣1﹣1，e+1]
二、填空题 （共4小题）
1、二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是 （用数字作答）．
2、在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， 
+ 
=λ 
，则λ= ．
+ =λ ，则λ= ．
3、设sin2α=﹣sinα，α∈（ 
，π），则tan2α的值是 ．
，π），则tan2α的值是 ．
4、设P1 ， P2 ， …Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1 ， P2 ， …Pn的距离之和最小，则称点P为P1 ， P2 ， …Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （共6小题）
1、在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和．
2、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 
cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣ 
．
cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣ ．
(1)求cosA的值；
(2)若a=4 
，b=5，求向量 
在 
方向上的投影．
，b=5，求向量 在 方向上的投影．
3、
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；
(2)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
运行次数n | 输出y的值为1的频数 | 输出y的值为2的频数 | 输出y的值为3的频数 |
30 | 14 | 6 | 10 |
… | … | … | … |
2100 | 1027 | 376 | 697 |
乙的频数统计图（部分）
运行次数n | 输出y的值为1的频数 | 输出y的值为2的频数 | 输出y的值为3的频数 |
30 | 12 | 11 | 7 |
… | … | … | … |
2100 | 1051 | 696 | 353 |
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能性较大；
(3)将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
4、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1 ， ∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
(1)在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
(2)设（1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．
5、已知椭圆C： 
（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点 
．
（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点 ．
(1)求椭圆C的离心率：
(2)设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且 
，求点Q的轨迹方程．
，求点Q的轨迹方程．
6、已知函数 
，其中a是实数，设A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2 ．
，其中a是实数，设A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2 ．
(1)指出函数f（x）的单调区间；
(2)若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；
(3)若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．