2014年全国高考理数真题试卷（新课标I卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题（共12小题）
1、已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（ ）
A . [1，2）
B . [﹣1，1]
C . [﹣1，2）
D . [﹣2，﹣1]
2、
=（ ）
=（ ）
A . 1+i
B . 1﹣i
C . ﹣1+i
D . ﹣1﹣i
3、设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A . f（x）•g（x）是偶函数
B . |f（x）|•g（x）是奇函数
C . f（x）•|g（x）|是奇函数
D . |f（x）•g（x）|是奇函数
4、已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）
A . 
B . 3
C . m
D . 3m
5、4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
6、如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、
执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
8、设α∈（0， 
），β∈（0， 
），且tanα= 
，则（ ）
），β∈（0， ），且tanα= ，则（ ）
A . 3α﹣β= 
B . 3α+β= 
C . 2α﹣β= 
D . 2α+β= 
B . 3α+β=
C . 2α﹣β=
D . 2α+β=
9、不等式组 
的解集记为D，有下列四个命题：
的解集记为D，有下列四个命题： p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A . p2 ， p3
B . p1 ， p4
C . p1 ， p2
D . p1 ， p3
10、已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 
=4 
，则|QF|=（ ）
=4 ，则|QF|=（ ）
A . 
B . 3
C . 
D . 2
B . 3
C .
D . 2
11、已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0 ， 且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A . （1，+∞）
B . （2，+∞）
C . （﹣∞，﹣1）
D . （﹣∞，﹣2）
12、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A . 6 
B . 6
C . 4 
D . 4
B . 6
C . 4
D . 4
二、填空题（共4小题）
1、（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ．（用数字填写答案）
2、甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
3、已知A，B，C为圆O上的三点，若 
= 
（ 
+ 
），则 
与 
的夹角为 ．
= （ + ），则 与 的夹角为 ．
4、已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题（共5小题）
1、已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．
(1)证明：an+2﹣an=λ
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
2、
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 
和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 
，σ2近似为样本方差s2 ．
，σ2近似为样本方差s2 ． （i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附： 
≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
3、如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．
(1)证明：AC=AB1；
(2)若AC⊥AB1 ， ∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
4、已知点A（0，﹣2），椭圆E： 
+ 
=1（a＞b＞0）的离心率为 
，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 
，O为坐标原点．
+ =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
5、设函数f（x）=aexlnx+ 
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
(1)求a、b；
(2)证明：f（x）＞1．
四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 选修4-1：几何证明选讲（共3小题）
1、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
(1)证明：∠D=∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
2、已知曲线C： 
+ 
=1，直线l： 
（t为参数）
+ =1，直线l： （t为参数）
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
3、若a＞0，b＞0，且 
+ 
= 
．
+ = ．
(1)求a3+b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．