2014年高考理数真题试卷（上海卷）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、填空题（共14小题）
1、函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 ．
2、若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+ 
）• 
= ．
）• = ．
3、若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 
+ 
=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．
+ =1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．
4、设f（x）= 
，若f（2）=4，则a的取值范围为 ．
，若f（2）=4，则a的取值范围为 ．
5、若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 ．
6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．
7、已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 ．
8、设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1= 
（a3+a4+…an），则q= ．
（a3+a4+…an），则q= ．
9、若f（x）= 
﹣ 
，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 ．
﹣ ，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 ．
10、为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．
11、已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2 ， b2}，则a+b= ．
12、设常数a使方程sinx+ 
cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1 ， x2 ， x3 ， 则x1+x2+x3= ．
cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1 ， x2 ， x3 ， 则x1+x2+x3= ．
13、某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 ．
14、已知曲线C：x=﹣ 
，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得 
+ 
= 
，则m的取值范围为 ．
，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得 + = ，则m的取值范围为 ． 二、选择题，每题有且只有一个正确答案（共4小题）
1、设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）
A . 充分非必要条件
B . 必要非充分条件
C . 充要条件
D . 既非充分又非必要条件
2、如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则 
• 
（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）
• （i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ） 
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
3、已知P1（a1 ， b1）与P2（a2 ， b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组 
的解的情况是（ ）
的解的情况是（ ）
A . 无论k，P1 ， P2如何，总是无解
B . 无论k，P1 ， P2如何，总有唯一解
C . 存在k，P1 ， P2 ， 使之恰有两解
D . 存在k，P1 ， P2 ， 使之有无穷多解
4、设f（x）= 
，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
A . [﹣1，2]
B . [﹣1，0]
C . [1，2]
D . [0，2]
三、解答题（共5小题）
1、底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3 ， 如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
2、设常数a≥0，函数f（x）= 
．
．
(1)若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
(2)根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
3、如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
4、在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1 ， P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
(1)求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
(2)若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
(3)动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
5、已知数列{an}满足 
an≤an+1≤3an ， n∈N* ， a1=1．
an≤an+1≤3an ， n∈N* ， a1=1．
(1)若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
(2)设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an ， 若 
Sn≤Sn+1≤3Sn ， n∈N* ， 求q的取值范围．
Sn≤Sn+1≤3Sn ， n∈N* ， 求q的取值范围．
(3)若a1 ， a2 ， …ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1 ， a2 ， …ak的公差．