2021-2022学年浙教版数学八下第一章二次根式优生综合题特训_试卷库

1、阅读材料：基本不等式 $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时，等号成立.其中我们把 $\text{[math]}$ 叫做正数a、b的算术平均数， $\text{[math]}$ 叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大 $\text{[math]}$ 小 $\text{[math]}$ 值问题的有力工具.

例如：在 $\text{[math]}$ 的条件下，当x为何值时， $\text{[math]}$ 有最小值，最小值是多少？

解 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ，即是 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ，

当且仅当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：

(1)若 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，

(2)当 $\text{[math]}$ 时，式子 $\text{[math]}$ 成立吗？请说明理由.

2、

(1)已知a为实数，求代数式： $\text{[math]}$ 的值.

(2)已知m是 $\text{[math]}$ 的小数部分.①求m²+2m+1的值；②求 $\text{[math]}$ 的值.

3、已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （n为正整数）.

(1)求 $\text{[math]}$ 的值（结果用含n的代数式表示）；

(2)若（1）中代数式的值是整数，求正整数n的最小值.

4、已知不等式组 $\text{[math]}$ .

(1)解这个不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来.

(2)若a是这个不等式组的最小整数解，求 $\text{[math]}$ 的值.

5、高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= $\text{[math]}$ (不考虑风速的影响)．

(1)从50m高空抛物到落地所需时间t₁是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t₂是多少s；

(2)t₂是t₁的多少倍？

(3)经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？

6、用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n $\text{[math]}$ ，如：1※2 $\text{[math]}$ .

(1)求（﹣2）※ $\text{[math]}$ ；

(2)若3※m＜－6，化简 $\text{[math]}$ .

7、已知：a＝ $\text{[math]}$ ﹣1，b＝ $\text{[math]}$ +1.

求：

(1)ab的值；

(2) $\text{[math]}$ 的值.

(3)a﹣b的值；

8、已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1)求m，n的值；

(2)若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

9、解答下列各题

(1)计算： $\text{[math]}$

(2)已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，求一次函数的解析式.

10、小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下：

题目：若代数式 $\text{[math]}$ 的值是1，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解：原式 $\text{[math]}$ ，

当 $\text{[math]}$ 时，原式 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ （舍去）；

当 $\text{[math]}$ 时，原式 $\text{[math]}$ ，符合条件；

当 $\text{[math]}$ 时，原式 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ （舍去）；

所以， $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ .

请你根据小明的做法，解答下列问题：

(1)当 $\text{[math]}$ 时，化简： $\text{[math]}$ ；

(2)若代数式 $\text{[math]}$ 的值是4，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

11、若矩形的长a＝ $\text{[math]}$ ，宽b＝ $\text{[math]}$ ．

(1)求矩形的面积和周长；

(2)求a²＋b²﹣20＋2ab的值．

12、阅读材料：把根式 $\text{[math]}$ 进行化简，若能找到两个数m、n ，是m²+n²＝x且mn＝ $\text{[math]}$ ，则把x±2 $\text{[math]}$ 变成m²+n²±2mn＝(m±n)²开方，从而使得 $\text{[math]}$ 化简．

例如：化简 $\text{[math]}$

解：∵3+2 $\text{[math]}$ ＝1+2+2 $\text{[math]}$ ＝1²+( $\text{[math]}$ )²+2×1× $\text{[math]}$ ＝(1+ $\text{[math]}$ )²

∴ $\text{[math]}$ ；

请你仿照上面的方法，化简下列各式：

(1) $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ .

13、

(1)已知x ， y ， z满足 $\text{[math]}$ |x﹣y|+z²﹣z $\text{[math]}$ 0，求2x﹣y+z的算术平方根．

(2)已知实数a ， b ， c满足：b $\text{[math]}$ 4，c的平方根等于它本身．求a $\text{[math]}$ 的值．

14、先阅读下列解答过程，再解答．

(1)形如 $\text{[math]}$ 的化简，只要我们找到两个数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么便有： $\text{[math]}$ ．

例如：化简 $\text{[math]}$ ．

解：只要我们找到两个数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，这里 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

由于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$ ．

根据上述例题的方法化简： $\text{[math]}$ ．

(2)小明在解决问题：已知， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值，他是这样分析与解答的：

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

①计算： $\text{[math]}$ ▲ ；

②计算： $\text{[math]}$ = ▲

③若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值

15、阅读材料：

黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.

在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”.如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.

解决问题：

(1) $\text{[math]}$ 的有理化因式可以是， $\text{[math]}$ 分母有理化得 .

(2)计算：

①已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

② $\text{[math]}$ .

16、阅读下列材料，然后回答问题：

在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .

以上这种化简过程叫做分母有理化.

$\text{[math]}$ 还可以用以下方法化简： $\text{[math]}$ .

(1)请用其中一种方法化简 $\text{[math]}$ ；

(2)化简： $\text{[math]}$ .

17、阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\text{[math]}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

$\text{[math]}$ ①

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

$\text{[math]}$ 还可以用以下方法化简：

$\text{[math]}$ ②

(1)请参照①②的方法用两种方法化简： $\text{[math]}$

(2)直接写出化简结果： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

(3)计算： $\text{[math]}$

18、观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，……

(1) $\text{[math]}$ 的倒数是．

(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）；

(3)利用上面的结论，求下列式子的值： $\text{[math]}$ ．

19、先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中a＝2020．如图是小亮和小芳的解答过程．

(1) 的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；

(2)先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中a＝﹣2；

(3)有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $\text{[math]}$ ．

20、计算

(1) $\text{[math]}$

(2) $\text{[math]}$

(3) $\text{[math]}$

(4) $\text{[math]}$

21、现有一组有规律的数： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这六个数按此规律重复出现.