北京市一五九中学2020年中考数学三模试卷

年级: 学科: 类型:中考模拟 来源:91题库

一、单选题(共8小题)

1、如图,点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(0,6),C为OB的中点,将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到 .若反比例函数 的图象恰好经过 的中点D,则k的值是(    )

A . 9    B . 12    C . 15    D . 18
2、北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为 轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为( )

A . B . C . D .
3、响应党中央号召,连日来,全国广大共产党员继续踊跃捐款,表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持.据统计,截至3月10日,全国已有7436万多名党员自愿捐款,共捐款76.8亿元,则76.8亿元用科学记数法可表示为(  )
A . 7.68 ´ 10 B . 7.68 ´ 10 C . 76.8 ´ 10 D . 0.768 ´ 10
4、某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一中展开图,那么在原正方体中,与点字所在面相对的面上的汉字是(    )

A . B . C . D .
5、如图,在 中, ,直线 ,顶点 在直线 上,直线 于点 ,交 与点 ,若 ,则 的度数是(    )

A . 30° B . 35° C . 40° D . 45°
6、下列运算正确的是(  )
A . B . C . D .
7、如图,将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为 ,则点 的坐标为(    )

A . B . C . D .
8、宽与长的比是 (约0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形ABCD,分别取AD、BC的中点E、F,连接EF:以点F为圆心,以FD为半径画弧,交BC的延长线于点G;作GH⊥AD,交AD的延长线于点H,则图中下列矩形是黄金矩形的是(  )

A . 矩形ABFE B . 矩形EFCD C . 矩形EFGH D . 矩形DCGH

二、填空题(共8小题)

1、如图,四边形 ABCD 内接于⊙O ,AB 为⊙O 的直径,点 C 为弧 BD 的中点.若∠DAB=40°,则∠ABC=      

2、已知x=1是一元二次方程 的一根,则该方程的另一个根为      
3、已知点P(x,y)位于第四象限,并且x≤y+4(x,y为整数),写出一个符合上述条件的点P的坐标      
4、已知一次函数y=kx+b(k≠0)经过(2,-1),(-3,4)两点,则其图象不经过第      象限.
5、世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 基站布设,“孔夫子家”自此有了 5G 网络.5G网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍,在峰值速率下传输 500 兆数据,5G 网络比4G 网络快 45 秒,求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据,依题意,可列方程是      
6、如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= 4 cm,点 D 为△ABC 内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接 BD,将△ABD 绕点 A 逆时针方向旋转,使 AB 与 AC 重合,点D的对应点 E,连接 DE,DE 交 AC 于点 F,则CF 的长为      cm.

7、如图,抛物线 与直线 交于 两点,则不等式 的解集是      

8、如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P,若点P的坐标为(a,b),则a与b的数量关系为      

三、解答题(共12小题)

1、如图, 的直径, 上一点, 的中点, 延长线上一点,且 交于点 ,与 交于点

(1)求证: 的切线;
(2)若 ,求直径 的长.
2、计算:6sin60°﹣ +( 0+| ﹣2020|.
3、已知x+y=xy,求代数式
4、如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF平分∠ABC,AF∥DC,连接AC,CF.求证:

(1)AF=CF;
(2)CA平分∠DCF.
5、今年某市为创评“全国文明城市”称号,周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式确定2名女生去参加.

抽签规则:将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面,把四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,梁老师先从中随机抽取一张卡片,记下姓名,再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张,记下姓名.

(1)该班男生“小刚被抽中”是事件,“小悦被抽中”是事件      (填“不可能”或“必然”或“随机”);第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为      
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出“小惠被抽中”的概率.
6、阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:

莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI =R -2Rr.

下面是该定理的证明过程(借助了第(2)问的结论):

延长AI交⊙O于点D,过点I作⊙O的直径MN,连接DM,AN.

∵∠D=∠N,∴∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等),

∴△MDI∽△ANI.∴ ,∴IA×ID=IM×IN①

如图②,在图1(隐去MD,AN)的基础上作⊙O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF

∵DE是⊙O的直径,∴∠DBE=90°.

∵⊙I与AB相切于点F,∴∠AFI=90°,

∴∠DBE=∠IFA.

∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等),

∴△AIF∽△EDB.

,∴ ②,

由(2)知:

又∵

∴2Rr=(R+d)(R-d),

∴R -d =2Rr

∴d =R -2Rr

任务:

(1)观察发现:IM=R+d,IN=      (用含R,d的代数式表示);
(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由.(请利用图1证明)
(3)应用:若△ABC的外接圆的半径为6cm,内切圆的半径为2cm,则△ABC的外心与内心之间的距离      cm.
7、如图,反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于 (1, ), 两点,点 在第四象限, 轴, .

(1)求 的值及点 的坐标;
(2)求 的值.
8、如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,DE∥AC,CE∥BD.

(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)在BC上截取CF=CO,连接OF,若AC=16,BD=12,求四边形OFCD的面积.
9、阅读下面的材料:

如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1 , x2

①若x1<x2 , 都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;

②若x1<x2 , 都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是减函数.

例题:证明函数f(x)= (x>0)是减函数.

证明:设0<x1<x2

f(x1)﹣f(x2)=

∵0<x1<x2

∴x2﹣x1>0,x1x2>0.

>0.即f(x1)﹣f(x2)>0.

∴f(x1)>f(x2).

∴函数f(x)= (x>0)是减函数.

根据以上材料,解答下面的问题:

已知函数

f(﹣1)= +(﹣2)=-1,f(﹣2)= +(﹣4)=

(1)计算:f(﹣3)=      ,f(﹣4)=      
(2)猜想:函数       函数(填“增”或“减”);
(3)请仿照例题证明你的猜想.
10、已知抛物线 (m,n为常数).
(1)若抛物线的的对称轴为直线x=1,且经过点(0,-1),求m,n的值;
(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求n的取值范围;
(3)在(1)的条件下,存在正实数a,b(a<b),当a≤x≤b时,恰好有 ,请直接写出a,b的值.
11、小明研究了这样一道几何题:如图1,在 中,把 绕点 顺时针旋转 得到 ,把 绕点 逆时针旋转 得到 ,连接 .当 时,请问 上的中线 的数量关系是什么?以下是他的研究过程:

特例验证:

(1)①如图2,当 为等边三角形时,猜想 的数量关系为        ;②如图3,当 时,则 长为      

猜想论证:

(2)在图1中,当 为任意三角形时,猜想 的数量关系,并给予证明.

拓展应用:

(3)如图4,在四边形 ,在四边形内部是否存在点 ,使 之间满足小明探究的问题中的边角关系?若存在,请画出点 的位置(保留作图痕迹,不需要说明)并直接写出 的边 上的中线 的长度;若不存在,说明理由.
12、定义:点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.

例如:如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P为△ABC的自相似点.

请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:

在平面直角坐标系中,点M是曲线C: 上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.

(1)如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点;当点M的坐标是 ,点N的坐标是 时,求点P的坐标;
(2)如图3,当点M的坐标是 ,点N的坐标是 时,求△MON的自相似点的坐标;
(3)是否存在点M和点N,使△MON无自相似点,?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.
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