2016-2017学年北京市朝阳区高三上学期期中数学试卷（理科）
年级：高三 学科：数学 类型：期中考试 来源：91题库
一、选择题（共8小题）
1、已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁UB=（ ）
A . {x|0＜x＜1}
B . {x|x＜0}
C . {x|x＞2}
D . {x|1＜x＜2}
2、下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A . y=x2
B . y=x+1
C . y=﹣lg|x|
D . y=﹣2x
3、若a=log2.10.6，b=2.10.6 ， c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A . a＞b＞c
B . b＞c＞a
C . c＞b＞a
D . b＞a＞c
4、已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1 ， x2∈[2，+∞），且x1≠x2 ， 不等式 
＞0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
＞0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
5、设m∈R且m≠0，“不等式m+ 
＞4”成立的一个充分不必要条件是（ ）
＞4”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A . m＞0
B . m＞1
C . m＞2
D . m≥2
6、已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2 
+ 
+ 
=0，| 
|=2| 
|，则 
• 
等于（ ）
+ + =0，| |=2| |，则 • 等于（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、已知函数f（x）= 
则函数g（x）=f（f（x））﹣ 
的零点个数是（ ）
则函数g（x）=f（f（x））﹣ 的零点个数是（ ）
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1
8、5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ）
A . 总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多
B . 总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
C . 总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个
D . 总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
二、填空题（共6小题）
1、设平面向量 
=（1，2）， 
=（﹣2，y），若 
∥ 
，则y= ．
=（1，2）， =（﹣2，y），若 ∥ ，则y= ．
2、函数f（x）=cos2x﹣sin2x的单调递减区间为 ．
3、各项均为正数的等比数列{{an}的前n项和为Sn ， 若a3=2，S4=5S2 ， 则a1的值为 ，S4的值为 ．
4、已知角A为三角形的一个内角，且 
，则tanA= ，tan（A+ 
）= ．
，则tanA= ，tan（A+ ）= ．
5、已知函数f（x）= 
在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围 ．
在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围 ．
6、《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．
三、解答题（共6小题）
1、已知数列{an}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1=1，且 
， 
， 
成等比数列．
， ， 成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{ 
}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜1．
}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜1．
2、已知函数f（x）=asinx﹣ 
cosx（a∈R）的图象经过点（ 
，0）．
cosx（a∈R）的图象经过点（ ，0）．
(1)求f（x）的最小正周期；
(2)若x∈[ 
， 
]，求f（x）的取值范围．
， ]，求f（x）的取值范围．
3、如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC= 
．
． 
(1)求sin∠DBC；
(2)求AD．
4、已知函数f（x）= 
﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣ 
， 
]．
﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣ ， ]．
(1)若函数f（x）是偶函数，试求a的值；
(2)当a＞0时，求证：函数f（x）在（0， 
）上单调递减．
）上单调递减．
5、已知函数f（x）=ex（x2﹣a），a∈R．
(1)当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；
(3)若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．
6、设a，b是正奇数，数列{cn}（n∈N*）定义如下：c1=a，c2=b，对任意n≥3，cn是cn﹣1+cn﹣2的最大奇约数．数列{cn}中的所有项构成集合A．
(1)若a=9，b=15，写出集合A；
(2)对k≥1，令dk=max{c2k ， c2k﹣1}（max{p，q}表示p，q中的较大值），求证：dk+1≤dk；
(3)证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数．】