山东省淄博市2021届高三数学三模试卷
年级: 学科: 类型: 来源:91题库
一、单选题(共8小题)
1、设双曲线
的左、右焦点分别为
,点P(异于顶点)在双曲线C的右支上,则下列说法正确的是( )


A .
可能是正三角形
B . P到两渐近线的距离之积是定值
C . 若
,则
的面积为8
D . 在
中,





2、已知全集
,集合
,
,则如图阴影部分表示的集合是( )



A .
B .
C .
D .




3、某个国家某种病毒传播的中期,感染人数
和时间
(单位:天)在
天里的散点图如图所示,下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数
和时间
的回归方程类型的是( )





A .
B .
C .
D .




4、在正项等比数列
中,若
是
,
两项的等差中项,则
( )





A . 1
B .
C .
D . -1


5、已知向量
、
满足
,则
( )




A . 3
B .
C . 7
D .


6、已知
,且
,
为虚数单位,则
的最大值是( )




A . 2
B .
C .
D .



7、已知锐角
、
满足
,则
的最小值为( )




A . 4
B .
C . 8
D .


8、算盘是一种手动操作计算辅助工具.它起源于中国,迄今已有2600多年的历史,是中国古代的一项重要发明,算盘有很多种类.现有一种算盘(如图一),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横以梁,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下四珠,上拨每珠记作数字1(例如图二中算盘表示整数51).如果拨动图一算盘中的三枚算珠,可以表示不同整数的个数为( )
A . 16
B . 15
C . 12
D . 10
二、多选题(共4小题)
1、已知圆
和圆
的交点为
,
,则( )




A . 圆
和圆
有两条公切线
B . 直线
的方程为
C . 圆
上存在两点
和
使得
D . 圆
上的点到直线
的最大距离为











2、已知正四棱台的上底面边长为1,侧棱长为2,高为
,则( )

A . 棱台的侧面积为
B . 棱台的体积为
C . 棱台的侧棱与底面所成的角
D . 棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为




3、下列说法正确的是( )
4、2021年3月30日,小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新
.设计师的灵感来源于曲线
.则下列说法正确的是( )


A . 曲线
关于原点成中心对称
B . 当
时,曲线
上的点到原点的距离的最小值为2
C . 当
时,曲线
所围成图形的面积的最小值为
D . 当
时,曲线
所围成图形的面积小于4








三、填空题(共4小题)
1、请写出一个函数
,使之同时具有如下性质:①
,
,②
,
.





2、已知椭圆C的左、右焦点分别为
,直线AB过
与椭圆交于A , B两点,当
为正三角形时,该椭圆的离心率为.



3、已知函数
(
,
)的部分图像如图所示,则
.




4、如图,在
的点阵中,依次随机地选出
、
、
三个点,则选出的三点满足
的概率是.





四、解答题(共5小题)
1、
的内角
、
,
的对边分别为
、
、
,
,
.









(1)求角
的大小;

(2)求
外接圆面积的最小值.

2、在图1所示的平面图形
中,
是边长为4的等边三角形,
是
的平分线,且
,
为
的中点,以
为折痕将
折起得到四棱锥
(如图2).










(1)设平面
和
的交线为
,在四棱雉
的棱
上求一点
,使直线
;







(2)若二面角
的大小为
,求平面
和
所成锐二面角的余弦值.




3、某电台举办有奖知识竞答比赛,选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为
,若甲自己没有把握答对,则在规定时间内连线亲友团寻求帮助,其亲友团每道题能答对的概率为p , 假设每道题答对与否互不影响.

(1)当
时,

(i)若甲答对了某道题,求该题是甲自己答对的概率;
(ii)甲答了4道题,计甲答对题目的个数为随机变量X , 求随机变量X的分布列和数学期望 ;
(2)乙答对每道题的概率为
(含亲友团),现甲乙两人各答两个问题,若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于
,求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.


4、已知函数
.

(1)判断函数
在
上的单调性;


(2)证明函数
在
内存在唯一的极值点
,且
.




5、若存在常数
,使得对于任意
,都有
,则称数列
为
数列.





(1)已知数列
是公差为
的等差数列,其前
项和为
,若
为
数列,求
的取值范围;







(2)已知数列
的各项均为正数,记
的前
项和为
,数列
的前
项和为
,且
,
,若数列
满足
,且
为
数列,求
的最大值;














(3)已知正项数列
满足:
,且数列
为
数列,数列
为
数列,若
,求证:数列
中必存在无穷多项可以组成等比数列.







