山东省淄博市2021届高三数学三模试卷

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一、单选题(共8小题)

1、设双曲线 的左、右焦点分别为 ,点P(异于顶点)在双曲线C的右支上,则下列说法正确的是(    )
A . 可能是正三角形 B . P到两渐近线的距离之积是定值 C . ,则 的面积为8 D . 中,
2、已知全集 ,集合 ,则如图阴影部分表示的集合是(    )

A . B . C . D .
3、某个国家某种病毒传播的中期,感染人数 和时间 (单位:天)在 天里的散点图如图所示,下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数 和时间 的回归方程类型的是(    )

A . B . C . D .
4、在正项等比数列 中,若 两项的等差中项,则 (    )
A . 1 B . C . D . -1
5、已知向量 满足 ,则 (    )
A . 3 B . C . 7 D .
6、已知 ,且 为虚数单位,则 的最大值是(    )
A . 2 B . C . D .
7、已知锐角 满足 ,则 的最小值为(    )
A . 4 B . C . 8 D .
8、算盘是一种手动操作计算辅助工具.它起源于中国,迄今已有2600多年的历史,是中国古代的一项重要发明,算盘有很多种类.现有一种算盘(如图一),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横以梁,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下四珠,上拨每珠记作数字1(例如图二中算盘表示整数51).如果拨动图一算盘中的三枚算珠,可以表示不同整数的个数为(    )

A . 16 B . 15 C . 12 D . 10

二、多选题(共4小题)

1、已知圆 和圆 的交点为 ,则(    )
A . 和圆 有两条公切线 B . 直线 的方程为 C . 上存在两点 使得 D . 上的点到直线 的最大距离为
2、已知正四棱台的上底面边长为1,侧棱长为2,高为 ,则(    )
A . 棱台的侧面积为 B . 棱台的体积为 C . 棱台的侧棱与底面所成的角 D . 棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为
3、下列说法正确的是(    )
4、2021年3月30日,小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新 .设计师的灵感来源于曲线 .则下列说法正确的是(    )
A . 曲线 关于原点成中心对称 B . 时,曲线 上的点到原点的距离的最小值为2 C . 时,曲线 所围成图形的面积的最小值为 D . 时,曲线 所围成图形的面积小于4

三、填空题(共4小题)

1、请写出一个函数 ,使之同时具有如下性质:① ,② .
2、已知椭圆C的左、右焦点分别为 ,直线AB 与椭圆交于AB两点,当 为正三角形时,该椭圆的离心率为.
3、已知函数 )的部分图像如图所示,则

4、如图,在 的点阵中,依次随机地选出 三个点,则选出的三点满足 的概率是

四、解答题(共5小题)

1、 的内角 的对边分别为
(1)求角 的大小;
(2)求 外接圆面积的最小值.
2、在图1所示的平面图形 中, 是边长为4的等边三角形, 的平分线,且 的中点,以 为折痕将 折起得到四棱锥 (如图2).

(1)设平面 的交线为 ,在四棱雉 的棱 上求一点 ,使直线
(2)若二面角 的大小为 ,求平面 所成锐二面角的余弦值.
3、某电台举办有奖知识竞答比赛,选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为 ,若甲自己没有把握答对,则在规定时间内连线亲友团寻求帮助,其亲友团每道题能答对的概率为p , 假设每道题答对与否互不影响.
(1)当 时,

(i)若甲答对了某道题,求该题是甲自己答对的概率;

(ii)甲答了4道题,计甲答对题目的个数为随机变量X , 求随机变量X的分布列和数学期望

(2)乙答对每道题的概率为 (含亲友团),现甲乙两人各答两个问题,若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于 ,求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.
4、已知函数
(1)判断函数 上的单调性;
(2)证明函数 内存在唯一的极值点 ,且
5、若存在常数 ,使得对于任意 ,都有 ,则称数列 数列.
(1)已知数列 是公差为 的等差数列,其前 项和为 ,若 数列,求 的取值范围;
(2)已知数列 的各项均为正数,记 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 ,且 ,若数列 满足 ,且 数列,求 的最大值;
(3)已知正项数列 满足: ,且数列 数列,数列 数列,若 ,求证:数列 中必存在无穷多项可以组成等比数列.
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说明

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