河北省唐山市2021届高三数学一模试卷
年级： 学科： 类型： 来源：91题库
一、单选题（共8小题）
1、已知集合 
，则 
（ ）
，则 （ ）
A . R
B . 
C . 
D . 
C .
D .
2、若虚数z满足 
，则 
（ ）
，则 （ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
3、设 
，则（ ）
，则（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
4、圆 
上到直线 
距离为1的点恰有一个，则 
（ ）
上到直线 距离为1的点恰有一个，则 （ ）
A . 3
B . 8
C . 3或-17
D . -22或8
5、记 
展开式的偶数项之和为P ， 则P的最小值为（ ）
展开式的偶数项之和为P ， 则P的最小值为（ ）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
6、在0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的两位整数中任取一个，则取到的整数十位上数字比个位上数字大的概率是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、已知双曲线 
的左、右焦点分别为 
， 
，直线 
与C相交于A ， B两点，若四边形 
是矩形，则双曲线C的离心率 
（ ）
的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C相交于A ， B两点，若四边形 是矩形，则双曲线C的离心率 （ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
8、已知函数 
是奇函数，当 
时， 
，则满足 
的x的取值范围是（ ）
是奇函数，当 时， ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
二、多选题（共4小题）
1、已知F为椭圆 
的左焦点，A ， B为E的两个顶点.若 
，则E的方程为（ ）
的左焦点，A ， B为E的两个顶点.若 ，则E的方程为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
2、在下列函数中，其图象关于直线 
对称的是（ ）
对称的是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
3、在正方体 
中，P是面对角线 
上的动点，Q是棱 
的中点，过 
、P、Q三点的平面与正方体的表面相交，所得截面多边形可能是（ ）
中，P是面对角线 上的动点，Q是棱 的中点，过 、P、Q三点的平面与正方体的表面相交，所得截面多边形可能是（ ） 
A . 三角形
B . 四边形
C . 五边形
D . 六边形
4、函数 
的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线，则（ ）
的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线，则（ ） 
A . 
的极小值点为 
B . 当 
时， 
C . 过原点且与曲线 
相切的直线仅有2条
D . 若 
， 
，则 
的最小值为 
的极小值点为
B . 当 时，
C . 过原点且与曲线 相切的直线仅有2条
D . 若 ， ，则 的最小值为
三、填空题（共4小题）
1、在等比数列 
中， 
为其前n项和， 
， 
，则 
.
中， 为其前n项和， ， ，则 .
2、与向量 
同向的单位向量 
.
同向的单位向量 .
3、在三棱锥 
中， 
是边长为3的等边三角形， 
， 
，二面角 
的大小为 
，则三棱锥 
外接球的表面积为.
中， 是边长为3的等边三角形， ， ，二面角 的大小为 ，则三棱锥 外接球的表面积为.
4、为了解M离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：给100只小鼠服M离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同，经过一段时间后检测出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据得到如频率分布直方图，则图中 
；估计M离子残留百分比的平均数为（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
；估计M离子残留百分比的平均数为（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 
四、解答题（共6小题）
1、在 
中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 
.
中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， .
(1)若 
， 
，求 
的面积；
， ，求 的面积；
(2)若 
，证明： 
为等腰直角三角形.
，证明： 为等腰直角三角形.
2、已知数列 
满足 
， 
，记数列 
的前n项和为 
.
满足 ， ，记数列 的前n项和为 .
(1)求 
的值；
的值；
(2)求 
的最大值.
的最大值.
3、如图，三棱柱 
中，侧面 
底面 
， 
， 
.
中，侧面 底面 ， ， . 
(1)证明： 
；
；
(2)若 
与平面 
所成角的正弦值为 
，求四面体 
的体积.
与平面 所成角的正弦值为 ，求四面体 的体积.
4、已知抛物线 
，点 
，斜率为 
的直线l过点P ， 与E相交于不同的点A ， B.
，点 ，斜率为 的直线l过点P ， 与E相交于不同的点A ， B.
(1)求k的取值范围；
(2)斜率为 
的直线m过点P ， 与E相交于不同的点C ， D ， 证明：直线 
，直线 
及y轴围成等腰三角形.
的直线m过点P ， 与E相交于不同的点C ， D ， 证明：直线 ，直线 及y轴围成等腰三角形.
5、某赛事共有16位选手参加，采用双败淘汰制.双败淘汰制，即一个选手在两轮比赛中失败才被淘汰出局.各选手抽签后两两交战（结果是“非胜即败”），胜者继续留在胜者组，败者则被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最后由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛.对阵秩序表如下图所示：
赛前通过抽签确定选手编号为1~16，在胜者组进行第一轮比赛.每条横线代表一场比赛，横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的①，②，···，⑧指的是在胜者组第一轮比赛的失败者，败者组中的A ， B ， ···，G指的是在胜者组第二轮到第四轮比赛的失败者.
参考知识：正整数 
时， 
，e为自然对数的底， 
.
(1)本赛事共计多少场比赛？一位选手最多能进行多少轮比赛？（直接写结果）
(2)选手甲每轮比赛胜败都是等可能的，设甲共进行X轮比赛，求其期望 
；
；
(3)假设选手乙每轮比赛的胜率都为t ， 那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？
6、已知函数 
.
.
(1)证明： 
在定义域内为减函数；
在定义域内为减函数；
(2)当 
时， 
，求a的取值范围.
时， ，求a的取值范围.