山东省青岛市2020届高三数学4月统一质量检测（一模)试卷_试卷库

山东省青岛市2020届高三数学4月统一质量检测（一模)试卷

年级：学科：类型：来源：91题库

一、单选题（共8小题）

1、已知i是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的共轭复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . -i B . 1 C . i D . -1

2、已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

3、已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额 $\text{[math]}$ （单位：元）服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则该市某居民手机支付的消费额在 $\text{[math]}$ 内的概率为（）

附：随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

A . 0.9759 B . 0.84 C . 0.8185 D . 0.4772

4、设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则a，b，c的大小关系正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

5、已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），若 $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ，极值点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 0 C . 1 D . 2

6、已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的所有棱长均相等，点E，F分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

7、在同一直角坐标系下，已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

8、某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为 $\text{[math]}$ ，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

二、多选题（共4小题）

1、已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

2、已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上只有1个零点 C . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴

3、已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列选项正确的为（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 是等差数列 B . 数列 $\text{[math]}$ 是等比数列 C . 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

4、已知四棱台 $\text{[math]}$ 的上下底面均为正方形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下述正确的是（）．

A . 该四棱台的高为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 该四棱台的表面积为26 D . 该四棱台外接球的表面积为 $\text{[math]}$

三、填空题（共4小题）

1、若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

2、已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为R， $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

3、已知 $\text{[math]}$ ，二项式 $\text{[math]}$ 展开式中含有 $\text{[math]}$ 项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有个．

4、2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： $\text{[math]}$ 是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切．已知直线 $\text{[math]}$ 过点O．

⑴若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；

⑵若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则 $\text{[math]}$ ．

四、解答题（共6小题）

1、设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1)求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2)是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

2、在 $\text{[math]}$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， $\text{[math]}$ ．

(1)求角 $\text{[math]}$ ；

(2)若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，在下列两个条件中任选一个，求 $\text{[math]}$ 的长度．

条件①： $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ；

条件②： $\text{[math]}$ ．

3、在如图所示的四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ 为边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，O分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的公垂线．

(1)证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2)记 $\text{[math]}$ 的重心为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

4、某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱｡

(1)已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表：

年份	2015	2016	2017	2018	2019
成交额（百亿元）	9	12	17	21	27

求成交额 $\text{[math]}$ （百亿元）与时间变量 $\text{[math]}$ （记2015年为 $\text{[math]}$ ，2016年为 $\text{[math]}$ ，……依次类推）的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；

(2)在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别参加 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在 $\text{[math]}$ 、两店订单“秒杀”成功的概率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为 $\text{[math]}$ ．

（i）求 $\text{[math]}$ 的分布列及 $\text{[math]}$ ；

（ii）已知每个订单由 $\text{[math]}$ 件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 $\text{[math]}$ 总数量为 $\text{[math]}$ ，假设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 取最大值时正整数k的值．

附：回归方程 $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

5、已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，椭圆 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点又恰为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与椭圆 $\text{[math]}$ 仅有两个公共点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l与D相交于A，B两点，记点A，B到直线 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．直线l与C相交于E，F两点，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）证明： $\text{[math]}$ 的周长为定值；