2016年吉林省白山市高考数学四模试卷（理科）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题（共12小题）
1、若集合A={x∈N|﹣1＜x＜5}，B={y|y=4﹣x，x∈A}，则（ ）
A . A∪B={1，2，3}
B . A=B
C . A∩B={1，2，3}
D . B⊆A
2、复数z满足 
=2i，则z平面内对应的点位于（ ）
=2i，则z平面内对应的点位于（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
3、“2x＞2”是“lgx＞﹣1”的（ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
4、已知函数f（x）=sin（ωx+ 
）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
A . 关于直线x= 
对称
B . 关于点（ 
，0）对称
C . 关于直线x=﹣ 
对称
D . 关于点（ 
，0）对称
对称
B . 关于点（ ，0）对称
C . 关于直线x=﹣ 对称
D . 关于点（ ，0）对称
5、若双曲线C：mx2+y2=1的离心率为2k（k＞0），其中k为双曲线C的一条渐近线的斜率，则m的值为（ ）
A . ﹣ 
B . 
C . ﹣3
D . 
B .
C . ﹣3
D .
6、一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A . 21π
B . 24π
C . 28π
D . 36π
7、若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（ ）
A . 17
B . 16
C . 15
D . 13
8、已知数列{an}中，a1=2， 
=3，若an≤100，则n的最大值为（ ）
=3，若an≤100，则n的最大值为（ ）
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
9、（x+ 
﹣4y）7的展开式中不含x的项的系数之和为（ ）
﹣4y）7的展开式中不含x的项的系数之和为（ ）
A . ﹣C73C4343﹣47
B . ﹣C72C4243+47
C . ﹣47
D . 47
10、设a＞0，且x，y满足约束条件 
，若z=x+y的最大值为7，则 
的最大值为（ ）
，若z=x+y的最大值为7，则 的最大值为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
11、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A . 
+8π
B . 24+8π
C . 16+8π
D . 8+16π
+8π
B . 24+8π
C . 16+8π
D . 8+16π
12、设函数y=ax2与函数y=| 
|的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（ ）
|的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（ ）
A . （ 
e， 
）
B . （﹣ 
e，0）∪（0， 
e）
C . （0， 
e）
D . （ 
，1）∪{ 
e}
e， ）
B . （﹣ e，0）∪（0， e）
C . （0， e）
D . （ ，1）∪{ e}
二、填空题（共4小题）
1、在边长为4的正△ABC中，D为BC的中点，则 
• 
= ．
• = ．
2、若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线的焦点的距离为3，O为坐标原点，则直线OA的斜率为 ．
3、偶函数f（x）的周期为3，当x∈[0，1]时，f（x）=3x ， 则 
的值为 ．
的值为 ．
4、偶函数f（x）的周期为3，当x∈[0，1]时，f（x）=3x ， 则 
的值为 ．
的值为 ．
5、已知数列{an}的前n项和为Sn ， a4=7且4Sn=n（an+an+1），则Sn﹣8an的最小值为 ．
6、已知数列{an}的前n项和为Sn ， a4=7且4Sn=n（an+an+1），则Sn﹣8an的最小值为 ．
三、解答题（共8小题）
1、在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，3sin2C+8sin2A=11sinA•sinC，且c＜2a．
(1)求证：△ABC为等腰三角形
(2)若△ABC的面积为8 
．且sinB= 
，求BC边上的中线长．
．且sinB= ，求BC边上的中线长．
2、在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点， 
=3 
．
=3 ． 
(1)证明：PB∥平面FMN；
(2)若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
3、某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：
类别 | 铁观音 | 龙井 | 金骏眉 | 大红袍 |
顾客数（人） | 20 | 30 | 40 | 10 |
时间t（分钟/人） | 2 | 3 | 4 | 6 |
注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
(1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
(2)用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
4、如图，椭圆 
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2 
，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3 
，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一点P．
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2 ，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3 ，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一点P． 
(1)求椭圆的方程；
(2)证明： 
为定值．
为定值．
5、已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ．
(1)当a=2时，求函数f（x）的最值；
(2)当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1 ， l2 ， 已知两切线的斜率互为倒数，证明： 
＜a＜ 
．
＜a＜ ．
6、已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ．
7、如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
(1)若 
= 
， 
=1，求 
的值；
= ， =1，求 的值；
(2)若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．
8、在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为 
（t为参数）．
（t为参数）．
(1)求圆C的直角坐标方程（化为标准方程）和直线l的极坐标方程；
(2)若直线l与圆C只有一个公共点，且a＜1，求a的值．
9、设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3，a∈R．
(1)若a=1，解不等式f（x）≤4；
(2)若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．