2016年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题（共12小题）
1、集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于（ ）
A . {x|0＜x≤1}
B . {x|0≤x＜1}
C . {x|1＜x≤2}
D . {x|1≤x＜2}
2、设复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，
p1：|z|=
，
p2：复数z在复平面内对应的点在第四象限；
p3：z的共轭复数为﹣1+2i，
p4：z的虚部为2i．
其中的真命题为（ ）
A . p1 ， p3
B . p2 ， p3
C . p1 ， p2
D . p1 ， p4
3、已知角α，β均为锐角，且cosα=
， tan（α﹣β）=﹣
， tanβ=（ ）
， tan（α﹣β）=﹣ ， tanβ=（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 3
B .
C .
D . 3
4、某校开设A类课3门，B类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A . 15种
B . 30种
C . 45种
D . 90种
5、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（ ）
A . 80
B . 40
C . 
D . 
D .
6、某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A . f（x）=x2
B . f（x）=sinx
C . f（x）=ex
D . f（x）= 
7、已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且 
，S20=17，则S30为（ ）
，S20=17，则S30为（ ）
A . 15
B . 20
C . 25
D . 30
8、函数y=2log4（1﹣x）的图象大致是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
9、已知 
，若目标函数z=4ax+3by（a＞0，b＞0）最大值为12，则 
的最小值为（ ）
，若目标函数z=4ax+3by（a＞0，b＞0）最大值为12，则 的最小值为（ ）
A . 1
B . 2
C . 4
D . 
10、已知 
，若目标函数z=4ax+3by（a＞0，b＞0）最大值为12，则 
的最小值为（ ）
，若目标函数z=4ax+3by（a＞0，b＞0）最大值为12，则 的最小值为（ ）
A . 1
B . 2
C . 4
D . 
11、若等式x4+4x3+3x2+2x+1=（x+1）4+a（x+1）3+b（x+1）2+c（x+1）+d恒成立，则（a，b，c，d）等于（ ）
A . （1，2，3，﹣1）
B . （2，3，4，﹣1）
C . （0，﹣1，2，﹣2）
D . （0，﹣3，4，﹣1）
12、若等式x4+4x3+3x2+2x+1=（x+1）4+a（x+1）3+b（x+1）2+c（x+1）+d恒成立，则（a，b，c，d）等于（ ）
A . （1，2，3，﹣1）
B . （2，3，4，﹣1）
C . （0，﹣1，2，﹣2）
D . （0，﹣3，4，﹣1）
13、设a＞0，b＞0（ ）
A . 若lna+2a=lnb+3b，则a＞b
B . 2a+2a=2b+3b，则a＜b
C . 若lna﹣2a=lnb﹣3b，则a＞b
D . 2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b
14、已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={ 
}；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log2x}；
④M={（x，y）|y=ex﹣2}．
其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A . ①②
B . ②③
C . ①④
D . ②④
二、填空题：（共4小题）
1、若图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an ， 则 
+ 
+ 
+…+ 
= ．
+ + +…+ = ． 
2、在△ABC中，A=60°，b=1， 
= ．
= ．
3、△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2 
，且| 
|=| 
|，则向量 
在 
方向上的投影为 ．
，且| |=| |，则向量 在 方向上的投影为 ．
4、已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，
x | ﹣1 | 0 | 2 | 4 | 5 |
f（x） | 1 | 2 | 1.5 | 2 | 1 |
下列关于函数f（x）的命题：
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值为2，那么t的最大值为4；
③函数f（x）在[0，2]上是减函数；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：（共8小题）
1、在等比数列{an}中，a2=3，a5=81，bn=1+2log3an ．
(1)求数列{bn}的前n项的和；
(2)已知数列 
的前项的和为Sn ， 证明： 
．
的前项的和为Sn ， 证明： ．
2、已知函数f（x）= 
sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣ 
（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．
sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣ （ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c= 
，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．
3、已知函数f（x）=lnx+ 
ax2﹣2bx
ax2﹣2bx
(1)设点a=﹣3，b=1，求f（x）的最大值；
(2)当a=0，b=﹣ 
时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的取值范围．
时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的取值范围．
4、如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，2AE=BD=2．
（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；
（Ⅱ）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．
5、已知函数f（x）=ex（e=2.71828…），g（x）为其反函数．
(1)求函数F（x）=g（x）﹣ax的单调区间；
(2)求函数F（x）=g（x）﹣ax的单调区间；
(3)设直线l与f（x），g（x）均相切，切点分别为（x1 ， f（x1）），（x2 ， f（x2）），且x1＞x2＞0，求证：x1＞1．
6、已知函数f（x）=ex（e=2.71828…），g（x）为其反函数．
(1)求函数F（x）=g（x）﹣ax的单调区间；
(2)求函数F（x）=g（x）﹣ax的单调区间；
7、设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，a∈M，b∈M
(1)试比较ab+1与a+b的大小
(2)试比较ab+1与a+b的大小
(3)设max表示数集A的最大数，h=max{ 
， 
， 
}，求证h≥2．
， ， }，求证h≥2．
8、设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，a∈M，b∈M
(1)试比较ab+1与a+b的大小
(2)试比较ab+1与a+b的大小
9、极坐标系中椭圆C的方程为ρ2= 
，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．
，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．
(1)求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为P（x，y），求x+ 
y的取值范围；
y的取值范围；
(2)求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为P（x，y），求x+ 
y的取值范围；
y的取值范围；
(3)若椭圆的两条弦AB，CD交于点Q，且直线AB与CD的倾斜角互补，求证：|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．
10、极坐标系中椭圆C的方程为ρ2= 
，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．
，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．
(1)求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为P（x，y），求x+ y的取值范围；
y的取值范围；
(2)求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为P（x，y），求x+ y的取值范围；
y的取值范围；
11、如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求 
的值．
12、如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求 
的值．
