2016-2017学年北京师大二附中高三上学期期中数学试卷（理科）
年级：高三 学科：数学 类型：期中考试 来源：91题库
一、选择题：（共8小题）
1、复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2 
，cosA= 
．且b＜c，则b=（ ）
，cosA= ．且b＜c，则b=（ ）
A . 3
B . 2 
C . 2
D . 
C . 2
D .
3、已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（ ）
A . M⊆N
B . N⊆M
C . M∩N={0}
D . M∪N=N
4、已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）
A . 若m∥α，n∥α，则m∥n
B . 若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β
C . 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D . 若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
5、将函数y=sin2x的图象先向左平移 
个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（ ）
个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（ ）
A . 
B . y=2cos2x
C . y=2sin2x
D . y=cosx
B . y=2cos2x
C . y=2sin2x
D . y=cosx
6、某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
A . 8
B . 
C . 4
D . 
C . 4
D .
7、如果关于x的方程 
正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（ ）
正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（ ）
A . {a|a≤0}
B . {a|a≤0或a=2}
C . {a|a≥0}
D . {a|a≥0或a=﹣2}
8、设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）= 
+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（ ）
+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A . 
B . [﹣1，0]
C . （﹣∞，﹣2]
D . 
B . [﹣1，0]
C . （﹣∞，﹣2]
D .
二、填空题（共6小题）
1、若| 
|=3，| 
|=2，且 
与 
的夹角为60°，则| 
﹣ 
|=
|=3，| |=2，且 与 的夹角为60°，则| ﹣ |=
2、设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为 ．
3、设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为 ．
4、命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为 ．
5、已知 
，则cos2x= ．
，则cos2x= ．
6、已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且 
为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当 
时，它一定取最大值；其中描述正确的是 ．
为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当 时，它一定取最大值；其中描述正确的是 ．
7、若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：
①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③ 
．
能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是 ．
三、解答题（共6小题）
1、已知函数 
．
． （Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设α是锐角，且 
，求f（α）的值．
2、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 
=﹣ 
．
=﹣ ． （Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b= 
，a+c=4，求△ABC的面积．
3、如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= 
，求三棱锥E﹣ACD的体积．
4、已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．
(1)若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式
(2)若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．
5、已知函数f（x）=cos 
，g（x）=ex•f（x），其中e为自然对数的底数．
，g（x）=ex•f（x），其中e为自然对数的底数．
(1)求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；
(2)若对任意 
时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．
时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．
6、已知函数f（x）=cos 
，g（x）=ex•f（x），其中e为自然对数的底数．
，g（x）=ex•f（x），其中e为自然对数的底数．
7、已知集合A=a1 ， a2 ， a3 ， …，an ， 其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n ， 求证： 
；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？