2015-2016学年河南省郑州市登封市高二下学期期中数学试卷（理科）
年级：高二 学科：数学 类型：期中考试 来源：91题库
一、选择题：（共12小题）
1、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A . 假设三内角都不大于60度
B . 假设三内角都大于60度
C . 假设三内角至多有一个大于60度
D . 假设三内角至多有两个大于60度
2、已知函数f（x）= 
x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（ ）
x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
3、计算： 
|x|dx=（ ）
|x|dx=（ ）
A . ﹣1
B . 1
C . ﹣ 
D . 
D .
4、已知m∈R，i为虚数单位，则“m=1”是“复数z=m2﹣1+（m+1）i为纯虚数”的（ ）
A . 充分但不必要条件
B . 必要但不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
5、下面是一段“三段论”推理过程：设函数f（x）的导数为f′（x）．若函数f（x）在区间（a，b）内无极值点，则f′（x）在区间（a，b）内无零点．因为f（x）=x3在（﹣1，1）内无极值点，所以f′（x）=3x2在（﹣1，1）内无零点．以上推理中（ ）
A . 大前提错误
B . 小前提错误
C . 结论正确
D . 推理形式错误
6、已知i为虚数单位，复数z满足 
=i，则z2016=（ ）
=i，则z2016=（ ）
A . ﹣2i
B . 2i
C . ﹣1
D . 1
7、由直线y=0，x=e，y=2x及曲线 
所围成的封闭的图形的面积为（ ）
所围成的封闭的图形的面积为（ ）
A . 3+2ln2
B . 3
C . 2e2﹣3
D . e
8、如果命题p（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（ ）
A . p（n）对所有正整数n都成立
B . p（n）对所有正偶数n都成立
C . p（n）对大于或等于2的正整数n都成立
D . p（n）对所有自然数都成立
9、小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，
小赵说：我没去过；
小钱说：小李去过；
小孙说；小钱去过；
小李说：我没去过．
假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（ ）
A . 小赵
B . 小李
C . 小孙
D . 小钱
10、把一个带+q电量的点电荷放在r轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F=k 
（其中k为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从r=a处移动到r=2a处，与从r=2a处移动到r=3a处，电场力对它所做的功之比为（ ）
（其中k为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从r=a处移动到r=2a处，与从r=2a处移动到r=3a处，电场力对它所做的功之比为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 3
B .
C .
D . 3
11、给出下列4个求导运算，其中正确的个数是（ ）
①（x+ 
）′=1+ 
；
②（log2x）′= 
；
③（3x）′=3x•log3e；
④（x2cos2x）′=﹣2xsin2x．
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
12、设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
二、填空题：（共4小题）
1、已知函数f（x）= 
﹣ 
+x+d在R上单调，则b的取值范围为 ．（用区间表示）
﹣ +x+d在R上单调，则b的取值范围为 ．（用区间表示）
2、若复数z满足3z+ 
=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
3、在圆中有“圆心与弦（非直径）的中点的连线垂直于弦所在的直线”．比上述性质，相应地：在球中有 ．
4、设a＞1，若关于x的方程ax=x无实根，则实数a的取值范围为 ．（用区间表示）
三、解答题：（共6小题）
1、已知函数f（x）=x2﹣3x+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）设函数f（x）图象上任意一点的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．
2、数列{an}满足a1=1，an+1= 
（n∈N*）．
（n∈N*）．
(1)计算a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通项公式an；
(2)用数学归纳法证明（1）中的猜想．
3、已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，且z是方程x2﹣4x+5=0的根．
(1)求复数z；
(2)复数w=a﹣ 
（a∈R）满足|w﹣z|＜2 
，求a的取值范围．
（a∈R）满足|w﹣z|＜2 ，求a的取值范围．
4、某商店商品每件成本10元，若售价为25元，则每天能卖出288件，经调查，如果降低价格，销售量可以增加，且每天多卖出的商品件数t与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤15）的关系是t=6x2 ．
(1)将每天的商品销售利润y表示成x的函数；
(2)如何定价才能使每天的商品销售利润最大？
5、某同学在独立完成课本上的例题：“求证： 
+ 
＜2 
”后，又进行了探究，发现下面的不等式均成立．
+ ＜2 ”后，又进行了探究，发现下面的不等式均成立． 
+ 
＜2 
+ 
＜2 
+ 
＜2 
+ 
＜2 
，
+ 
≤2 
．
(1)请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式；（用字母表示）
(2)请用合适的方法证明你写出的不等式成立．
6、已知函数f（x）=exsinx，其中x∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当 
时，f（x）≥kx，求实数k的取值范围．