2017年河南省许昌市高考数学二模试卷（理科）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：（共12小题）
1、下列命题正确的是（ ）
A . ∃x0∈R，sinx0+cosx0= 
B . ∀x≥0且x∈R，2x＞x2
C . 已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件
D . 已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是 
=﹣1
B . ∀x≥0且x∈R，2x＞x2
C . 已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件
D . 已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是 =﹣1
2、已知等差数列{an}满足a1=1，an+2﹣an=6，则a11等于（ ）
A . 31
B . 32
C . 61
D . 62
3、已知函数f（x）= 
的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（ ）
的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（ ）
A . 0
B . 2
C . 4
D . 8
4、已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（ ）
A . 12
B . 8
C . 0
D . 4
5、已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，﹣2），O为坐标原点，动点M满足| 
|=1，则| 
的最大值是（ ）
|=1，则| 的最大值是（ ）
A . 
B . 
C . 
﹣1
D . 
﹣1
B .
C . ﹣1
D . ﹣1
6、定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N* ， n≥2），都有f（x）= 
f（ 
﹣1）．若g（x）=f（x）﹣logax有且只有三个零点，则a的取值范围是（ ）
f（ ﹣1）．若g（x）=f（x）﹣logax有且只有三个零点，则a的取值范围是（ ）
A . [2，10]
B . [ 
， 
]
C . （2，10）
D . [2，10）
， ]
C . （2，10）
D . [2，10）
7、已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤0}，则（∁RA）∪B=（ ）
A . （﹣1，3）
B . （2，3）
C . （2，3]
D . [﹣1，3]
8、欧拉（Leonhard Euler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，表示的复数e﹣iπ在复平面内位于
（ ）
A . 第一象限
B . 在实数轴上
C . 第三象限
D . 第四象限
9、已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： 
+ 
=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（ ）
+ =1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（ ）
A . 
+ 
=1
B . 
+ 
=1
C . 
+ 
=1
D . 
+ 
=1
+ =1
B . + =1
C . + =1
D . + =1
10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A . 3 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
11、如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别是21，28，则输出a的值为（ ）
A . 14
B . 7
C . 1
D . 0
12、已知双曲线C： 
﹣ 
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（ ）
﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
二、填空题：（共4小题）
1、已知实数x，y满足条件 
若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为 ．
若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为 ．
2、已知实数x，y满足条件 
若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为 ．
若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为 ．
3、设二项式 
展开式中的常数项为a，则 
的值为 ．
展开式中的常数项为a，则 的值为 ．
4、设二项式 
展开式中的常数项为a，则 
的值为 ．
展开式中的常数项为a，则 的值为 ．
5、已知A，B，C是球O的球面上三点，且 
为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为 ．
为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为 ．
6、已知函数fn（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn ， 且fn（﹣1）=（﹣1）nn，n∈N* ， 设函数g（n）= 
，若bn=g（2n+4），n∈N* ， 则数列{bn}的前n（n≥2）项和Sn等于 ．
，若bn=g（2n+4），n∈N* ， 则数列{bn}的前n（n≥2）项和Sn等于 ． 三、解答题：（共7小题）
1、已知向量 
=（2cosx，sinx）， 
=（cosx，2 
cosx），函数f（x）= 
• 
﹣1．
=（2cosx，sinx）， =（cosx，2 cosx），函数f（x）= • ﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB= 
，对任意满足条件的A，求f（A）的取值范围．
2、设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．
3、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 
（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．
（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．
(1)化曲线C1 ， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C2于A，B两点，求线段AB的长．
4、某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
频数 | 20 | 20 | a | b |
(1)若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；
(2)按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．
5、如图所示，已知长方体ABCD中， 
为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．
为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM． 
(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；
(2)是否存在满足 
的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为 
．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．
的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为 ．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．
6、已知函数 
．
．
(1)当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
(2)若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．
7、已知函数 
的最小值为m．
的最小值为m．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．