2017年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：（共10小题）
1、设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（ ）
A . 
B . 
C . 5
D . 3
B .
C . 5
D . 3
2、已知集合 A={x|x2＜4}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A . ∅
B . {0}
C . {0，1}
D . {0，1，2}
3、已知 
，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（ ）
，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（ ）
A . 1+2i
B . 1﹣2i
C . 2+i
D . 2﹣i
4、下列命题为真命题的是（ ）
A . 若 x＞y＞0，则 ln x+ln y＞0
B . “φ= 
”是“函数 y=sin（2x+φ） 为偶函数”的充要条件
C . ∃x0∈（﹣∞，0），使 3x0＜4x0成立
D . 已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且 m∥β，n∥α，则α∥β
”是“函数 y=sin（2x+φ） 为偶函数”的充要条件
C . ∃x0∈（﹣∞，0），使 3x0＜4x0成立
D . 已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且 m∥β，n∥α，则α∥β
5、已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0），若倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=﹣12x 的焦点，且直线l被圆C截得的弦长为2 
，则a等于（ ）
，则a等于（ ）
A . 
+1
B . 
C . 2± 
D . 
﹣1
+1
B .
C . 2±
D . ﹣1
6、下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）上是减函数的为（ ）
A . y=log 
|x|
B . y=x 
C . y= 
D . y=lg 
|x|
B . y=x
C . y=
D . y=lg
7、设向量 
=（1，﹣2）， 
=（a，﹣1）， 
=（﹣b，0），其中 O 为坐标原点，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则 
+ 
的最小值为（ ）
=（1，﹣2）， =（a，﹣1）， =（﹣b，0），其中 O 为坐标原点，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则 + 的最小值为（ ）
A . 4
B . 6
C . 8
D . 9
8、已知 x，y 满足不等式组 
，当 3≤m≤5 时，目标函数 z=3x+2y的最大值的变化范围是（ ）
，当 3≤m≤5 时，目标函数 z=3x+2y的最大值的变化范围是（ ）
A . [7，8]
B . [7，15]
C . [6，8]
D . [6，15]
9、已知一个平放的各棱长均为 4 的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮．当注入的水的体积是该三棱锥体积的 
时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（ ）
时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
10、如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x2及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 a2＜ 
x2dx＜（a+1）2 ． 类比之，若对∀n∈N*，不等式 
＜A＜ 
+ 
+…+ 
恒成立，则实数A等于（ ）
x2dx＜（a+1）2 ． 类比之，若对∀n∈N*，不等式 ＜A＜ + +…+ 恒成立，则实数A等于（ ） 
A . ln 
B . ln 2
C . 
ln 2
D . 
ln 5
B . ln 2
C . ln 2
D . ln 5
二、填空题：（共5小题）
1、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．
2、函数f （x ）= 
（ A＞0，ω＞0，|φ|＜ 
）的部分图象如图所示，则f（ 
）= ．
（ A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示，则f（ ）= ． 
3、工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有 种．
4、已知A为双曲线C： 
（a＞0，b＞0）的右顶点，B1 ， B2分别为虚轴的两个端点，F为右焦点．若B2F⊥AB1 ， 则双曲线C的离心率是 ．
（a＞0，b＞0）的右顶点，B1 ， B2分别为虚轴的两个端点，F为右焦点．若B2F⊥AB1 ， 则双曲线C的离心率是 ．
5、在研究函数 f （ x ）= 
﹣ 
的性质时，某同学受两点间距离公式启发，将f（x）变形为f（x）= 
﹣ 
，并给出关于函数f（x）以下五个描述：
﹣ 的性质时，某同学受两点间距离公式启发，将f（x）变形为f（x）= ﹣ ，并给出关于函数f（x）以下五个描述： ①函数 f（x）的图象是中心对称图形；
②函数 f（x）的图象是轴对称图形；
③函数 f（x）在[0，6]上是增函数；
④函数 f（x）没有最大值也没有最小值；
⑤无论m为何实数，关于x的方程 f（x）﹣m=0都有实数根．
其中描述正确的是 ．
三、解答题：（共6小题）
1、已知函数f（x）= 
sinωx cosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）相邻两条对称轴之间的距离为 
．
sinωx cosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）相邻两条对称轴之间的距离为 ． （Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足a= 
，f（A）=1，求△ABC 面积 S 的最大值．
2、如图，四棱锥P﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD 都是边长为2的等边三角形，E 是BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）求PAB与平面 PCD 所成二面角的大小．
3、为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛．经过层层选拔，最终甲乙两人进入决赛，争夺冠亚军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②比赛前两人答题的先后顺序通过抽签决定后，双方轮流答题，每次回答一道，；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得 3 分者获胜．已知甲、乙答对每道题的概率分别为 
和 
，且每次答题的结果相互独立．
和 ，且每次答题的结果相互独立． （Ⅰ）若乙先答题，求甲3：0获胜的概率；
（Ⅱ）若甲先答题，记乙所得分数为 X，求X的分布列和数学期望 EX．
4、数列{an}是公差为正数的等差数列，a2和 a5是方程x2﹣12x+27=0 的两实数根，数列{bn}满足3n﹣1bn=nan+1﹣（n﹣1）an ．
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn ， 并求Tn＜7 时n的最大值．
5、设f（x）=x ln x﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（Ⅰ）令g（x）=f′（x ），求 g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a≤0时，直线 y=t（﹣1＜t＜0）与f（x）的图象有两个交点A（x1 ， t），B（x2 ， t），且x1＜x2 ， 求证：x1+x2＞2．
6、已知椭圆 C： 
=1（ a＞b＞0）经过点 （1， 
），离心率为 
，点 A 为椭圆 C 的右顶点，直线 l 与椭圆相交于不同于点 A 的两个点P （x1 ， y1），Q （x2 ， y2）．
=1（ a＞b＞0）经过点 （1， ），离心率为 ，点 A 为椭圆 C 的右顶点，直线 l 与椭圆相交于不同于点 A 的两个点P （x1 ， y1），Q （x2 ， y2）．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）当 
⋅ 
=0 时，求△OPQ 面积的最大值；
（Ⅲ）若直线 l 的斜率为 2，求证：△APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点．