2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）_试卷库

2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）

年级：高考学科：数学类型：来源：91题库

一、选择题（共8小题）

1、已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）

A . {x|x≥0} B . {x|x≤1} C . $\text{[math]}$ D . {x|0≤x＜ $\text{[math]}$ }

2、已知实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，则z=2x+y的最大值是（）

A . 4 B . 6 C . 10 D . 12

3、直线 $\text{[math]}$ 被圆ρ=1所截得的弦长为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

4、设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

5、如图，在矩形ABCD中，AB= $\text{[math]}$ ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 2﹣ $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

6、如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）

A . 10 B . 11 C . 12 D . 13

7、我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N^*）次多项式a_nxⁿ+a_n_﹣1xⁿ^﹣1+…+a₁x+a₀ ，当x=x₀时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=（（a₃x+a₂）x+a₁）x+a₀ ，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．

A . x⁴+x³+2x²+3x+4 B . x⁴+2x³+3x²+4x+5 C . x³+x²+2x+3 D . x³+2x²+3x+4

8、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

二、填空题（共6小题）

1、若复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则实数a的值为

2、在数列{a_n}中，a₁=1，a_n•a_n₊₁=﹣2（n=1，2，3，…），那么a₈等于．

3、若抛物线y²=2px的焦点与双曲线 $\text{[math]}$ ﹣y²=1的右顶点重合，则p= ．

4、如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=

5、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）

6、已知 $\text{[math]}$ ．

①当a=1时，f（x）=3，则x= ；

②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a= ．

三、解答题（共6小题）

1、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c²=a²+b²﹣ab．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．

2、某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：

（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小（只需写出结论）；

（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；

（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．

3、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．

（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；

（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅲ）已知AD=2， $\text{[math]}$ ，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．

4、已知函数f（x）=1nx．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当x＞0时， $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．

5、已知椭圆E： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设直线l：y= $\text{[math]}$ +m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

6、已知集合R_n={X|X=（x₁ ， x₂ ， …，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a₁ ， a₂ ， …，a_n）∈R_n ， B=（b₁ ， b₂ ， …，b_n）∈R_n ，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a₁﹣b₁|+|a₂﹣b₂|+…|a_n﹣b_n|= $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）写出R₂中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；

（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R₃ ，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；

（Ⅲ）设集合P⊆R_n ， P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ．