2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：（共12小题）
1、4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
2、点S、A、B、C在半径为
的同一球面上，点S到平面ABC的距离为
， AB=BC=CA=
， 则点S与△ABC中心的距离为（ ）
的同一球面上，点S到平面ABC的距离为 ， AB=BC=CA= ， 则点S与△ABC中心的距离为（ ）
A . 
B . 
C . 1
D . 
B .
C . 1
D .
3、（x2+2）（x﹣
）6的展开式中常数项为（ ）
）6的展开式中常数项为（ ）
A . ﹣40
B . ﹣25
C . 25
D . 55
4、复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
5、函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A . （0，1）
B . （﹣∞，1）
C . （﹣∞， 
）
D . （0， 
）
）
D . （0， ）
6、若x，y满足约束条件 
，则z=x﹣y的最小值为（ ）
，则z=x﹣y的最小值为（ ）
A . ﹣3
B . 1
C . ﹣2
D . 2
7、公差为1的等差数列{an}中，a1 ， a3 ， a6成等比数列，则{an}的前10项和为（ ）
A . 65
B . 80
C . 85
D . 170
8、若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜ 
）的图象过点（ 
，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（ ）
）的图象过点（ ，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（ ）
A . x= 
B . x= 
C . x= 
D . x= 
B . x=
C . x=
D . x=
9、已知集合A={x|y= 
}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（ ）
}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（ ）
A . {x|﹣3≤x≤1}
B . {x|0＜x≤1}
C . {x|﹣3≤x≤2}
D . {x|x≤2}
10、已知平面向量 
、 
满足| 
|=2，| 
|=1， 
与 
的夹角为120°，且（ 
+ 
）⊥（2 
﹣ 
），则实数λ的值为（ ）
、 满足| |=2，| |=1， 与 的夹角为120°，且（ + ）⊥（2 ﹣ ），则实数λ的值为（ ）
A . ﹣7
B . ﹣3
C . 2
D . 3
11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）
A . 4 
B . 2 
C . 6
D . 4 
B . 2
C . 6
D . 4
12、过点（0，2b）的直线l与双曲线C： 
﹣ 
=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
﹣ =1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A . （1，2]
B . （2，+∞）
C . （1，2）
D . （1， 
]
]
二、填空题：（共4小题）
1、已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x ． 则f（1）的值为 ．
2、公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为 ．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）
3、过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为 
的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于 ．
的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于 ．
4、数列{an}满足an= 
（n≥2），若{an}为等比数列，则a1的取值范围是 ．
（n≥2），若{an}为等比数列，则a1的取值范围是 ． 三、解答题：（共8小题）
1、如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．
(1)求cos∠B的值；
(2)求sin∠BAC的值和边BC的长．
2、根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响．
(1)求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；
(2)该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：
方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；
方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；
方案三：不采取措施；
试比较哪种方案较好，并请说理由．
3、如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．
(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
4、已知椭圆E： 
+ 
=1（a＞b＞0）的离心率为 
，直线x+y+ 
=0与椭圆E仅有一个公共点．
+ =1（a＞b＞0）的离心率为 ，直线x+y+ =0与椭圆E仅有一个公共点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．
5、已知函数f（x）=（x+1）ex和函数g（x）=（ex﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．
(1)求函数f（x）的单调区间；
(2)求函数f（x）的单调区间；
(3)判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；
(4)若函数g（x）存在极值为2a2 ， 求a的值．
6、已知函数f（x）=（x+1）ex和函数g（x）=（ex﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．
(1)求函数f（x）的单调区间；
(2)求函数f（x）的单调区间；
7、如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．
（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．
8、如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．
（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．
9、在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 
（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ= 
（p＞0）．
（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ= （p＞0）． （Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求 
+ 
的值．
10、已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．