2017年湖南省郴州市高考数学三模试卷（理科）
年级：高考 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：（共12小题）
1、设z=1﹣i（i是虚数单位），若复数 
在复平面内对应的向量为 
，则向量 
的模是（ ）
在复平面内对应的向量为 ，则向量 的模是（ ）
A . 1
B . 
C . 
D . 2
C .
D . 2
2、已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（ ）
A . （2，4]
B . [2，4]
C . {0，3，4}
D . {3，4}
3、算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（ ）盏灯．
A . 14
B . 12
C . 8
D . 10
4、运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（ ）
A . 
B . ﹣3
C . 3
D . 
B . ﹣3
C . 3
D .
5、某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知p（80＜ξ≤100）=0.35，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（ ）
A . 5份
B . 10份
C . 15份
D . 20份
6、已知函数f（x）= 
sinx+3cosx，当x∈[0，π]时，f（x）≥ 
的概率为（ ）
sinx+3cosx，当x∈[0，π]时，f（x）≥ 的概率为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）
A . 点Q到平面PEF的距离
B . 直线PE与平面QEF所成的角
C . 三棱锥P﹣QEF的体积
D . 二面角P﹣EF﹣Q的大小
8、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 
，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线x+y﹣1=0对称，则椭圆C的方程为（ ）
，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线x+y﹣1=0对称，则椭圆C的方程为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
9、已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），f'（x）是f（x）的导函数，若f（α）=0，f'（α）＞0，且f（x）在区间[α， 
+α）上没有最小值，则ω取值范围是（ ）
+α）上没有最小值，则ω取值范围是（ ）
A . （0，2）
B . （0，3]
C . （2，3]
D . （2，+∞）
10、如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量 
=m 
+n 
（m，n为实数），则m+n的取值范围是（ ）
=m +n （m，n为实数），则m+n的取值范围是（ ） 
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
11、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A . 
B . 
C . 4π
D . 
B .
C . 4π
D .
12、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A . 
B . 
C . 4π
D . 
B .
C . 4π
D .
13、已知函数 
，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（ ）
，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（ ）
A . 
B . （0，1]
C . [0，1]
D . 
B . （0，1]
C . [0，1]
D .
14、已知函数 
，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（ ）
，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（ ）
A . 
B . （0，1]
C . [0，1]
D . 
B . （0，1]
C . [0，1]
D .
二、填空题：（共4小题）
1、设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ．
2、已知 
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为 ．
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为 ．
3、在直角三角形△ABC中， 
， 
，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得 
，则 
= ．
， ，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得 ，则 = ．
4、已知数列{an}的前n项和为Sn ， 对任意n∈N+ ， Sn=（﹣1）nan+ 
+n﹣3且（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立，则实数t的取值范围是 ．
+n﹣3且（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立，则实数t的取值范围是 ． 三、解答题：（共7小题）
1、如图，在△ABC中，∠B=30°，AC= 
，D是边AB上一点．
，D是边AB上一点．
(1)求△ABC面积的最大值；
(2)若CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，求BC的长．
2、2017年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求出频率分布直方图中的a值，并求出这200的平均年龄；
(2)现在要从年龄较小的第1，2，3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；
(3)若要从所有参与调查的人（人数很多）中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X，求X的分布列和数学期望．
3、如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．
4、已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)点Q（x0 ， y0）（x0≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．
5、已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx．
(1)当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；
(2)当a＜0时，求函数f（x）在 
上的最小值；
上的最小值；
(3)记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．
6、在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 
（θ为参数），直线l的参数方程为 
（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．
（θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．
(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|•|PN|的值．
7、在平面直角坐标系中，定义点P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）之间的“直角距离”为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A（x，1）、B（1，2）、C（5，2）三点．
(1)若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；
(2)当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．
8、在平面直角坐标系中，定义点P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）之间的“直角距离”为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A（x，1）、B（1，2）、C（5，2）三点．