江苏省徐州市2017-2018学年高三上学期数学期中考试试卷
年级：高三 学科：数学 类型：期中考试 来源：91题库
一、填空题（共14小题）
1、设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B= ．
2、已知复数z满足（1+i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为 ．
3、函数f（x）=2sin（ 
）的周期为 ．
）的周期为 ．
4、已知一组数据：87，x，90，89，93的平均数为90，则该组数据的方差为 ．
5、双曲线 
的离心率是 ．
的离心率是 ．
6、从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ．
7、执行如图所示的流程图，则输出的x值为 ．
8、棱长均为2的正四棱锥的体积为 ．
9、已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且a2=6，若a1 ， a3 ， a7成等比数列，则S8的值为 ．
10、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P为 
上的一点，若 
=2，则 
的值为 ．
上的一点，若 =2，则 的值为 ．
11、已知函数f（x）=ex﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为 ．
12、已知实数x，y满足x2+y2=3，|x|≠|y|，则 
的最小值为 ．
的最小值为 ．
13、已知点P是圆O：x2+y2=4上的动点，点A（4，0），若直线y=kx+1上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，则实数k的取值范围为 ．
14、已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2a，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则实数a的取值范围为 ．
二、解答题（共12小题）
1、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c=2bcosA．
(1)求角B的大小；
(2)若b=2 
，a+c=4，求△ABC的面积．
，a+c=4，求△ABC的面积．
2、如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=SC，AB⊥AC，D为BC的中点，E为AC上一点，且DE∥平面SAB．求证：
(1)直线AB∥平面SDE；
(2)平面ABC⊥平面SDE．
3、如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H在圆周上，E，F在边CD上，且 
，设∠BOC=θ．
，设∠BOC=θ．
(1)记游泳池及其附属设施的占地面积为f（θ），求f（θ）的表达式；
(2)怎样设计才能符合园林局的要求？
4、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： 
=1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为 
，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．
=1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为 ，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．
5、已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=2an﹣1，n∈N*．数列{bn}满足nbn+1﹣（n+1）bn=n（n+1），n∈N*，且b1=1．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn=an 
，数列{cn}的前n项和为Tn ， 对任意的n∈N*，都有Tn＜nSn﹣a，求实数a的取值范围；
，数列{cn}的前n项和为Tn ， 对任意的n∈N*，都有Tn＜nSn﹣a，求实数a的取值范围；
(3)是否存在正整数m，n使b1 ， am ， bn（n＞1）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m，n，若不存在，请说明理由．
6、已知函数f（x）=（ax﹣1）ex（a≠0，e是自然对数的底数）．
(1)若函数f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围；
(2)求函数f（x）的极值；
(3)设函数f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．
7、如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于B点，过B作圆O的切线交CD于点E，DE= 
．
．求证：CA= 
．
8、已知矩阵A= 
，若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），求实数k的值．
，若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），求实数k的值．
9、在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a＞0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为 
（t为参数），若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．
（t为参数），若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．
10、设x，y均为正数，且x＞y，求证：2（x﹣y﹣1）+ 
≥1．
≥1．
11、如图，在三棱锥A﹣BOC中，OA，OB，OC两两垂直，点D，E分别为棱BC，AC的中点，F在棱AO上，且满足OF= 
，已知OA=OC=4，OB=2．
，已知OA=OC=4，OB=2．
(1)求异面直线AD与OC所成角的余弦值；
(2)求二面角C﹣EF﹣D的正弦值．
12、某同学在上学路上要经过A、B、C三个带有红绿灯的路口．已知他在A、B、C三个路口遇到红灯的概率依次是 
、 
、 
，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．
、 、 ，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．
(1)求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，
(2)求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间．