河北省衡水金卷2018年普通高等学校理数招生全国统一考试模拟试题（2）_试卷库

河北省衡水金卷2018年普通高等学校理数招生全国统一考试模拟试题（2）

年级：学科：数学类型：来源：91题库

一、单选题（共12小题）

1、已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

2、已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是虚数单位， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

3、已知 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角，若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . 3 B . -4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

4、双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线与抛物线 $\text{[math]}$ 相切，则双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

5、袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

6、《算法统宗》是中国古代数学名著，由程大位所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其含义为：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入 $\text{[math]}$ 分别代表钱数和果子个数，则符合输出值 $\text{[math]}$ 的为（）

A . $\text{[math]}$ 为甜果数343 B . $\text{[math]}$ 为苦果数343 C . $\text{[math]}$ 为甜果数657 D . $\text{[math]}$ 为苦果数657

7、 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内的所有零点之和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

8、已知 $\text{[math]}$ 恒成立，若 $\text{[math]}$ 为真命题，则实数 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

9、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

10、如图为正方体 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到 $\text{[math]}$ ，运动过程种，点 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的距离保持不变，运动的路程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间满足函数关系 $\text{[math]}$ ，则此函数图象大致是（）

A .

B .

C .

D .

11、抛物线 $\text{[math]}$ 的准线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为抛物线的焦点，若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ 为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

12、已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数，若 $\text{[math]}$ 有两个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

二、填空题（共4小题）

1、若向量 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

2、已知 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

3、 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时， $\text{[math]}$ ．

4、3位逻辑学家分配10枚金币，因为都对自己的逻辑能力很自信，决定按以下方案分配：
(1)抽签确定各人序号：1，2，3；
(2)1号提出分配方案，然后其余各人进行表决，如果方案得到不少于半数的人同意（提出方案的人默认同意自己方案），就按照他的方案进行分配，否则1好只得到2枚金币，然后退出分配与表决；
(3)再由2号提出方案，剩余各人进行表决，当且仅当不少于半数的人同意时(提出方案的人默认同意自己方案），才会按照他的提案进行分配，否则也将得到2枚金币，然后退出分配与表决；
（4）最后剩的金币都给3号.每一位逻辑学家都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，1号为得到最多的金币，
提出的分配方案中1号、2号、3号所得金币的数量分别为．

三、解答题（共7小题）

1、已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1)求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2)求 $\text{[math]}$ 的值.

2、某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数 $\text{[math]}$ ,且所有得分都是整数.

参考数据： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

(1)求全班平均成绩；

(2)计算得分超过141的人数；（精确到整数）

(3)甲同学每次考试进入年级前100名的概率是 $\text{[math]}$ ，若本学期有4次考试， $\text{[math]}$ 表示进入前100名的次数，写出 $\text{[math]}$ 的分布列，并求期望与方差.

3、已知在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起至 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 为直角.

(1)求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2)若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ，当二面角 $\text{[math]}$ 为45°时，求 $\text{[math]}$ 的值.

4、如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1)若点 $\text{[math]}$ 的轨迹是曲线 $\text{[math]}$ 的一部分，曲线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴、原点都对称，求曲线 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

(2)过点 $\text{[math]}$ 作曲线 $\text{[math]}$ 的两条互相垂直的弦 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由.

5、已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数.

(1)若 $\text{[math]}$ 有极值点，求证：必有一个极值点在区间 $\text{[math]}$ 内；

(2)求证：对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ .

6、在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .

(1)求曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；

(2)在平面直角坐标系中，将曲线 $\text{[math]}$ 的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率.

7、已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) $\text{[math]}$ 的最小值；

(2)证明： $\text{[math]}$ .