备考2018年中考数学一轮基础复习：专题二十七探索规律问题_试卷库

备考2018年中考数学一轮基础复习：专题二十七探索规律问题

年级：学科：数学类型：来源：91题库

一、单选题（共15小题）

1、

填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为（）

A . 180 B . 182 C . 184 D . 186

2、观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（）

A . 121 B . 362 C . 364 D . 729

3、

如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a₁ ，第2幅图形中“●”的个数为a₂ ，第3幅图形中“●”的个数为a₃ ， …，以此类推，则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

4、我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）ⁿ的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．

根据“杨辉三角”请计算（a+b）²⁰的展开式中第三项的系数为（）

A . 2017 B . 2016 C . 191 D . 190

5、

观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）

A . 23 B . 75 C . 77 D . 139

6、

如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A₀点出发，沿着射线A₀O方向运动到⊙O上的点A₁处，再向左沿着与射线A₁O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A₂处；接着又从A₂点出发，沿着射线A₂O方向运动到⊙O上的点A₃处，再向左沿着与射线A₃O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A₄处；…按此规律运动到点A₂₀₁₇处，则点A₂₀₁₇与点A₀间的距离是（）

A . 4 B . 2 $\text{[math]}$ C . 2 D . 0

7、如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如

，表示a₁=a₂+a₃ ，则a₁的最小值为（）

A . 32 B . 36 C . 38 D . 40

8、

如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）

A . 2017π B . 2034π C . 3024π D . 3026π

9、观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）

A . ﹣121 B . ﹣100 C . 100 D . 121

10、

如图，过点A₀（2，0）作直线l：y= $\text{[math]}$ x的垂线，垂足为点A₁ ，过点A₁作A₁A₂⊥x轴，垂足为点A₂ ，过点A₂作A₂A₃⊥l，垂足为点A₃ ， …，这样依次下去，得到一组线段：A₀A₁ ， A₁A₂ ， A₂A₃ ， …，则线段A₂₀₁₆A₂₁₀₇的长为（）

A . （ $\text{[math]}$ ）²⁰¹⁵ B . （ $\text{[math]}$ ）²⁰¹⁶ C . （ $\text{[math]}$ ）²⁰¹⁷ D . （ $\text{[math]}$ ）²⁰¹⁸

11、在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）

A . 84株 B . 88株 C . 92株 D . 121株

12、

我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P₁P₂ ， P₂P₃ ， P₃P₄ ， …得到螺旋折线（如图），已知点P₁（0，1），P₂（﹣1，0），P₃（0，﹣1），则该折线上的点P₉的坐标为（）

A . （﹣6，24） B . （﹣6，25） C . （﹣5，24） D . （﹣5，25）

13、将一组数 $\text{[math]}$ ，2， $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…，2 $\text{[math]}$ ，按下列方式进行排列：

$\text{[math]}$ ，2， $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，4，3 $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ；

…

若2的位置记为（1，2），2 $\text{[math]}$ 的位置记为（2，1），则 $\text{[math]}$ 这个数的位置记为（）

A . （5，4） B . （4，4） C . （4，5） D . （3，5）

14、如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（）

A . 71 B . 78 C . 85 D . 89

15、按照一定规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三个数的和为768，则n为（）

A . 9 B . 10 C . 11 D . 12

二、填空题（共6小题）

1、如图，正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂ ，如此继续下去，则正六边形A₄B₄C₄D₄E₄F₄的面积是 .

2、

正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁ ， A₃B₃C₃C₂…按如图所示放置，点A₁、A₂、A₃…在直线y=x+1上，点C₁、C₂、C₃…在x轴上，则A_n的坐标是．

3、某广场用同一种如图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3所示的图案，第四次拼成形如图4所示的图案…按照这样的规律进行下去，第n次拼成的图案共有地砖块．

4、在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P₁的终结点为P₂ ，点P₂的终结点为P₃ ，点P₃的终结点为P₄ ，这样依次得到P₁、P₂、P₃、P₄、…P_n、…，若点P₁的坐标为（2，0），则点P₂₀₁₇的坐标为．

5、设△ABC的面积为1．

如图1，分别将AC，BC边2等分，D₁ ， E₁是其分点，连接AE₁ ， BD₁交于点F₁ ，得到四边形CD₁F₁E₁ ，其面积S₁= $\text{[math]}$ ．

如图2，分别将AC，BC边3等分，D₁ ， D₂ ， E₁ ， E₂是其分点，连接AE₂ ， BD₂交于点F₂ ，得到四边形CD₂F₂E₂ ，其面积S₂= $\text{[math]}$ ；

如图3，分别将AC，BC边4等分，D₁ ， D₂ ， D₃ ， E₁ ， E₂ ， E₃是其分点，连接AE₃ ， BD₃交于点F₃ ，得到四边形CD₃F₃E₃ ，其面积S₃= $\text{[math]}$ ；

…

按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD_nF_nE_n ，其面积S_n= ．

6、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P₁（0，1），P₂（1，1），P₃（1，0），P₄（1，﹣1），P₅（2，﹣1），P₆（2，0），…，则点P₂₀₁₇的坐标是．

三、综合题（共4小题）

1、

问题提出：用水平线和竖直线将平面分成若干个面积为1的小长方形格子，小长方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x，多边形内部的格点数为n，S与x，n之间是否存在一定的数量关系呢？

(1)问题探究：

如图1，图中所示的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请填写下表并写出S与x之间的关系式S= ．

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	2	2.5	3	4	…
各边上格点的个数和x	4				…

(2)在图2中所示的格点多边形，这些多边形内部都有且只有2个格点．探究此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式S= ．

(3)请继续探索，当格点多边形内部有且只有n（n是正整数）个格点时，猜想S与x，n之间的关系式S= （用含有字母x，n的代数式表示）

(4)问题拓展：

请在正三角形网格中的类似问题进行探究：在图3、4中正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，图是该正三角形格点中的两个多边形．

根据图中提供的信息填表：

	格点多边形各边上的格点的个数	格点多边形内部的格点个数	格点多边形的面积
多边形1（图3）	8	1	8
多边形2（图4）	7	3	11
…	…	…	…
…	…	…	…
…	…	…	…
一般格点多边形	a	b	S

则S与a，b之间的关系为S= （用含a，b的代数式表示）．

2、观察下列等式：

第一个等式： $\text{[math]}$

第二个等式： $\text{[math]}$

第三个等式： $\text{[math]}$

第四个等式： $\text{[math]}$

按上述规律，回答下列问题：

(1)请写出第六个等式：a₆= = ；

(2)用含n的代数式表示第n个等式：a_n= = ；

(3)a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆= （得出最简结果）；

(4)计算：a₁+a₂+…+a_n ．

3、观察下列各个等式的规律：

第一个等式： $\text{[math]}$ =1，第二个等式： $\text{[math]}$ =2，第三个等式： $\text{[math]}$ =3…

请用上述等式反映出的规律解决下列问题：

(1)直接写出第四个等式；

(2)猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．

4、问题的提出：n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？

问题的转化：由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题：

n条直线最多可以把平面分割成多少个部分？

如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分；

如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；

如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；

平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…

(1)请你仿照前面的推导过程，写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程（只写推导过程，不画图）；

(2)根据递推规律用n的代数式填空：n条直线最多可以把平面分割成个部分．

问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？

首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到1+1=2个部分；所以，1个平面最多可以把空间分割成2个部分；

空间中有2个平面时，新增的一个平面与已知的1个平面最多有1条交线，这1条交线会把新增的这个平面最多分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2个平面最多可以把空间分割成4个部分；

空间中有3个平面时，新增的一个平面与已知的2个平面最多有2条交线，这2条交线会把新增的这个平面最多分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4=8个部分，所以，3个平面最多可以把空间分割成8个部分；

空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得到1+1+2+4+7=15个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分；

空间中有5个平面时，新增的一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11=26个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部分；…

(3)请你仿照前面的推导过程，写出“6个平面最多可以把空间分割成多少个部分？”的推导过程（只写推导过程，不画图）；

(4)根据递推规律填写结果：10个平面最多可以把空间分割成个部分；

(5)设n个平面最多可以把空间分割成S_n个部分，设n﹣1个平面最多可以把空间分割成S_n_﹣₁个部分，前面的递推规律可以用S_n_﹣₁和n的代数式表示S_n；这个等式是S_n= ．