2018年高考数学提分专练：第19题 空间几何（解答题）
年级： 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、真题演练（共6小题）
1、
如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
2、
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
3、
如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= 
AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
4、
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 
，求该四棱锥的侧面积．
，求该四棱锥的侧面积．
5、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
6、如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= 
AD，∠BAD=∠ABC=90°．
AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（Ⅰ）证明：直线BC∥平面PAD；
（Ⅱ）若△PCD面积为2 
，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
二、模拟实训（共9小题）
1、在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2 
，M为AB的中点．
，M为AB的中点． 
(1)求证：AC⊥SB；
(2)求二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值．
2、如图，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是正三角形，△ACP是直角三角形，∠ABP=∠CBP，AB=BP．
(1)证明：平面ACP⊥平面ABC；
(2)若E为棱PB与P不重合的点，且AE⊥CE，求AE与平面ABC所成的角的正弦值．
3、如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为 
的正方形，PA⊥BD．
的正方形，PA⊥BD．
(1)求证：PB=PD；
(2)若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．
4、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2 
，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．
，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．
(1)求证：AC⊥DE
(2)已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为 
，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．
，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．
5、如图，在四棱锥 
中，底面ABCD是菱 形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点.
中，底面ABCD是菱 形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点. 
(1)求证：PE⊥AD；
(2)若CA＝CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．
6、如图，在四棱锥 
中， 
，且 
.
中， ，且 .
(1)证明：平面 
⊥平面 
；
⊥平面 ；
(2)若 
， 
，求二面角 
的余弦值.
， ，求二面角 的余弦值.
7、如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF//AE,AB=AE=2.
(1)求证:BD⊥平面ACFE;
(2)当直线FO与平面BDE所成的角为45°时,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.
8、如图，四边形 
与 
均为菱形， 
，且 
.
与 均为菱形， ，且 .
(1)求证： 
平面 
；
平面 ；
(2)求直线 
与平面 
所成角的正弦值.
与平面 所成角的正弦值.
9、如图，直三棱柱 
中，侧面 
是正方形， 
.
中，侧面 是正方形， .
(1)证明： 
；
；
(2)当三棱锥 
的体积为2， 
时，求点 
到平面 
的距离.
的体积为2， 时，求点 到平面 的距离.