2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅲ)_试卷库

2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅲ)

年级：学科：数学类型：来源：91题库

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12小题）

1、已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中元素的个数为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 6

2、复数 $\text{[math]}$ 的虚部是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

3、在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

4、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： $\text{[math]}$ ，其中K为最大确诊病例数．当I( $\text{[math]}$ )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 $\text{[math]}$ 约为（）（ln19≈3）

A . 60 B . 63 C . 66 D . 69

5、设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y²=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A . （ $\text{[math]}$ ，0） B . （ $\text{[math]}$ ，0） C . （1，0） D . （2，0）

6、已知向量a，b满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

7、在△ABC中，cosC= $\text{[math]}$ ，AC=4，BC=3，则cosB=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

8、下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A . 6+4 $\text{[math]}$ B . 4+4 $\text{[math]}$ C . 6+2 $\text{[math]}$ D . 4+2 $\text{[math]}$

9、已知2tanθ–tan(θ+ $\text{[math]}$ )=7，则tanθ=（）

A . –2 B . –1 C . 1 D . 2

10、若直线l与曲线y= $\text{[math]}$ 和x²+y²= $\text{[math]}$ 都相切，则l的方程为（）

A . y=2x+1 B . y=2x+ $\text{[math]}$ C . y= $\text{[math]}$ x+1 D . y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$

11、设双曲线C： $\text{[math]}$ （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\text{[math]}$ ．P是C上一点，且F₁P⊥F₂P．若△PF₁F₂的面积为4，则a=（）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 8

12、已知5⁵<8⁴ ， 13⁴<8⁵ ．设a=log₅3，b=log₈5，c=log₁₃8，则（）

A . a<b<c B . b<a<c C . b<c<a D . c<a<b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4小题）

1、若x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=3x+2y的最大值为．

2、 $\text{[math]}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）．

3、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．

4、关于函数f（x）= $\text{[math]}$ 有如下四个命题：

①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x= $\text{[math]}$ 对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是．

三、解答题（共5小题）

1、设数列{a_n}满足a₁=3， $\text{[math]}$ ．

(1)计算a₂ ， a₃ ，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

(2)求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n ．

2、某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级	[0，200]	(200，400]	(400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

附： $\text{[math]}$ ，

P(K²≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次>400
空气质量好
空气质量不好

3、如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1)证明：点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内；

(2)若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

4、已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，A，B分别为C的左、右顶点．

(1)求C的方程；

(2)若点P在C上，点Q在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

5、设函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点( $\text{[math]}$ ，f( $\text{[math]}$ ))处的切线与y轴垂直．

(1)求b．

(2)若 $\text{[math]}$ 有一个绝对值不大于1的零点，证明： $\text{[math]}$ 所有零点的绝对值都不大于1．

四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题）

1、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．

(1)求 $\text{[math]}$ ；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

五、[选修4-5：不等式选讲]（共1小题）

1、设a，b，c $\text{[math]}$ R，a+b+c=0，abc=1．

(1)证明：ab+bc+ca<0；

(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ $\text{[math]}$ ．