2015年高考理数真题试卷（湖北卷）_试卷库

2015年高考理数真题试卷（湖北卷）

年级：高考学科：数学类型：来源：91题库

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共10小题）

1、 $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ 的共轭复数为（）

2、我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

A . 134石 B . 169石 C . 338石 D . 1365石

3、已知 $\text{[math]}$ 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

4、

设 $\text{[math]}$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 对任意正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . 对任意正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

5、设 $\text{[math]}$ . 若p： $\text{[math]}$ 成等比数列；

q： $\text{[math]}$ ，则（）

A . p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B . p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C . p是q的充分必要条件 D . p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

6、.已知符号函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是R上的增函数， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

7、在区间 $\text{[math]}$ 上随机取两个数 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为事件“ $\text{[math]}$ ”的概率， $\text{[math]}$ 为事件“ $\text{[math]}$ ”的概率， $\text{[math]}$ 为事件“ $\text{[math]}$ ”的概率，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

8、将离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线 $\text{[math]}$ 的实半轴长 $\text{[math]}$ 和虚半轴长 $\text{[math]}$ 同时增加 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线 $\text{[math]}$ ，则（）

9、已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中元素的个数为（）

A . 77 B . 49 C . 45 D . 30

10、设整数. 若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$

同时成立，则正整数n的最大值是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（共5小题）

1、已知向量AB $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

2、函数 $\text{[math]}$ 的零点个数为．

3、

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 $\text{[math]}$ 的

方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北 $\text{[math]}$ 的方向上，仰角为 $\text{[math]}$ ，则此山的高度 $\text{[math]}$ m.

4、

如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

5、（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy中，以O为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ ( t为参数) ， $\text{[math]}$ 与C相交于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ .

三、解答题（共6小题）

1、某同学用“五点法”画函数 $\text{[math]}$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

$\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
x		$\text{[math]}$		$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	0	5		-5	0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 $\text{[math]}$ 的解析式；

（Ⅱ）将 $\text{[math]}$ 图象上所有点向左平行移动 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到 $\text{[math]}$ 的图象. 若 $\text{[math]}$ 图象的一个对称中心为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

2、设等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为d，前n项和为 $\text{[math]}$ ，等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为q．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1)求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2)当 $\text{[math]}$ 时，记 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

3、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马P-ABCD中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，过棱 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

(1)证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．试判断四面体 $\text{[math]}$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写

出结论）；若不是，说明理由；

(2)若面 $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ 所成二面角的大小为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

4、

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 $\text{[math]}$ 两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产 $\text{[math]}$ 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

（Ⅰ）求Z的分布列和均值；该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．

（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

5、一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为 $\text{[math]}$ 轴建立如图2所示的平面直角坐标系。

(1)求曲线C的方程；

(2)设动直线 $\text{[math]}$ 与两定直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ 两点．若直线 $\text{[math]}$ 总与曲线C有且只有一个公共点，试探究： $\text{[math]}$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．