2019年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）
年级： 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12小题）
1、已知集合M= 
，N= 
，则M 
N=（ ）
，N= ，则M N=（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
2、设复数z满足 
，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
3、已知a=log20.2，b= 
，c= 
，则（ ）
，c= ，则（ ）
A . a<b<c
B . a<c<b
C . c<a<b
D . b<c<a
4、古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 
，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是 
。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是 。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ） 
A . 165cm
B . 175cm
C . 185cm
D . 190cm
5、函数f(x)= 
在[- 
， 
]。的图像大致为（ ）
在[- ， ]。的图像大致为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
6、我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--"，下图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、已知非零向量 
， 
满足| 
|=2| 
|，且 
，则 
与 
的夹角为（ ）
， 满足| |=2| |，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
8、下图是求 
的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A . A= 
B . A=2+ 
C . A= 
D . A=1+ 
B . A=2+
C . A=
D . A=1+
9、记Sn为等差数列 
的前n项和。已知 
=0， 
=5，则（ ）
的前n项和。已知 =0， =5，则（ ）
A . an=2n-5
B . an=3n-10
C . Sn=2n2-8n
D . Sn= 
n2-2n
n2-2n
10、已知椭圆C的焦点为F1（-1,0），F2（1,0）。过F2的直线与C交于A，B两点。若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为（ ）
A . 
+y2=1
B . 
+ 
=1
C . 
+ 
=1
D . 
+ 
=1
+y2=1
B . + =1
C . + =1
D . + =1
11、关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间 
单调递增
③f(x)在[-π，π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A . ①②④
B . ②④
C . ①④
D . ①③
12、已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，∆ABC是边长为2的正三角形，E、F，分别是PA，AB的中点， 
CEF=90°，则球O的体积为（ ）
CEF=90°，则球O的体积为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4小题）
1、曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为 .
2、记Sn为等比数列{an}的前n项和。若a1= 
， 
， 则S5=
， ， 则S5=
3、甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是
4、已知双曲线C： 
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点。若 
= 
， 
· 
=0,则C的离心率为 。
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点。若 = ， · =0,则C的离心率为 。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5小题）
1、∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。
(1)求A；
(2)若 
,求sinC.
,求sinC.
2、如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2， 
BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1 ， A1D的中点
BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1 ， A1D的中点
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值。
3、已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 
的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。
的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程：
(2)若 
,求|AB|。
,求|AB|。
4、已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：
(1)f’(x)在区间(-1， 
)存在唯一极大值点；
)存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点。
5、为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则P0=0，P8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2，…，7),其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)。假设α=0.5，β=0.8。
(i)证明：
（i=0,1,2，…，7）为等比数列；
(ii)求P4 ， 并根据P4的值解释这种试验方案的合理性。
四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。（共2小题）
1、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 
（t为参数）。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+
ρsinθ+11=0。
（t为参数）。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ ρsinθ+11=0。
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值。
2、已知a，b，c为正数，且满足abc=1。证明：
(1)
；
；
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24。