广东省汕头市2019年普通高考第一次模拟考试数学理试题_试卷库

广东省汕头市2019年普通高考第一次模拟考试数学理试题

年级：学科：数学类型：来源：91题库

一、单选题（共12小题）

1、已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

2、已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 1

3、已知离散型随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

则X的数学期望 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

4、已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

5、一动圆的圆心在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且动圆恒与直线 $\text{[math]}$ 相切，则此动圆必过定点（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

6、将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 0

7、将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

8、在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是四边形 $\text{[math]}$ 的中心，关于直线 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

9、若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

10、过双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于 $\text{[math]}$ 两点，与双曲线的渐近线交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线离心率的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

11、三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 的面积为2，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球体积的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

12、定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

二、填空题（共4小题）

1、设 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

2、已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

3、在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为30，则实数 $\text{[math]}$ 的值为．

4、在锐角三角形 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为．

三、解答题（共7小题）

1、已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1)求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2)若数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

2、如图所示，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 菱形 $\text{[math]}$ 所在的平面， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的点．

(1)求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2)若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，当 $\text{[math]}$ 时，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，请说明理由．

3、我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布 $\text{[math]}$ ．

(1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？

(2)2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：

人工投入增量x（人）	2	3	4	6	8	10	13
年收益增量y（万元）	13	22	31	42	50	56	58

该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程： $\text{[math]}$ ；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： $\text{[math]}$ 的附近，对人工投入增量x做变换，令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，且有 $\text{[math]}$ ．

（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；

（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 $\text{[math]}$ ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．

回归模型	模型①	模型②
回归方程	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	182.4	79.2

附：若随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

样本 $\text{[math]}$ 的最小二乘估计公式为： $\text{[math]}$ ，

另，刻画回归效果的相关指数 $\text{[math]}$

4、已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 与坐标轴不垂直的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点．

(1)求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2)若 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

5、已知 $\text{[math]}$ ．

(1)讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2)若 $\text{[math]}$ 存在3个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

6、（选修4—4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数， $\text{[math]}$ ）．以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．