百师联盟2020届高三理数模拟试卷四（全国卷Ⅰ）
年级： 学科：数学 类型： 来源：91题库
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。（共12小题）
1、若用列举法表示集合 
，则下列表示正确的是（ ）
，则下列表示正确的是（ ）
A . {x=3，y=0}
B . {（3，0）}
C . {3，0}
D . {0，3}
2、已知复数z= 
，则 
=（ ）
，则 =（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
3、新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A级，则该校学生物理成绩达到A级的人数是（ ）
A . 600
B . 300
C . 60
D . 30
4、掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验，许多著名的科学家都做过这个实验，比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验，可以让人们感受到随机事件的发生，形成可能性的概率观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1，反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次，出现两个0和四个1的概率为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
5、已知凸四边形ABCD的面积为S，点P是四边形内部任意一点，若点P到四条边AB，BC，CD，DA的距离分别为d1 ， d2 ， d3 ， d4 ， 且满足 
，利用分割法可得d1+2d2+3d3+4d4= 
；类比以上性质，体积为V的三棱锥P-ABC，点Q是三棱锥内部任意一点，Q到平面PAB，PBC，PAC，ABC的距离分别为D1 ， D2 ， D3 ， D4 ， 若 
，则D1+2D2+3D3+4D4=（ ）
，利用分割法可得d1+2d2+3d3+4d4= ；类比以上性质，体积为V的三棱锥P-ABC，点Q是三棱锥内部任意一点，Q到平面PAB，PBC，PAC，ABC的距离分别为D1 ， D2 ， D3 ， D4 ， 若 ，则D1+2D2+3D3+4D4=（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
6、已知F1 ， F2是椭圆C： 
（a>b>0）的两个焦点，C的上顶点A在圆（x-2）2+（y-1）2=4上，若∠F1AF2= 
，则椭圆C的标准方程为（ ）
（a>b>0）的两个焦点，C的上顶点A在圆（x-2）2+（y-1）2=4上，若∠F1AF2= ，则椭圆C的标准方程为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
7、如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（ ）
A . 6π+12
B . 10π+36
C . 5π+36
D . 6π+18
8、执行如图所示的程序框图，则输出的a=（ ）
A . - 
B . - 
C . 2
D . -2
B . -
C . 2
D . -2
9、已知函数f（x）=sin 
cos 
- 
sin2 
+ 
，x∈[-1，a]，a∈N*，若函数f（x）图象与直线y=1至少有2个交点，则a的最小值为（ ）
cos - sin2 + ，x∈[-1，a]，a∈N*，若函数f（x）图象与直线y=1至少有2个交点，则a的最小值为（ ）
A . 7
B . 9
C . 11
D . 12
10、在如图所示的圆锥中，平面ABC是轴截面，底面圆O'的面积为4π，∠ABC= 
，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） 
A . 
B . 
C . 
D . 32π
B .
C .
D . 32π
11、已知点P是双曲线C： 
（a>1）上的动点，点M为圆O：x2+y2=1上的动点，且 
，若|PM|的最小值为 
，则双曲线C的离心率为（ ）
（a>1）上的动点，点M为圆O：x2+y2=1上的动点，且 ，若|PM|的最小值为 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A . 
B . 
C . 
D . 
B .
C .
D .
12、已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=x·2x.则方程f（x）-|lgx|=0的根的个数为（ ）
A . 99
B . 100
C . 198
D . 200
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4小题）
1、已知向量
=（m-3，2），
=（-1，1），若
， 则|
|= .
=（m-3，2），=（-1，1），若 ， 则||= .
2、12月4日为国家普法日，某校特举行普法知识竞赛，其中一个环节是从6道题中采用不放回的方式收取两道进行作答，选手甲能正确回答其中的4道题，则甲在第一次抽到的题能回答正确的条件下，第二次抽到的题也能回答正确的概率为 .
3、函数f（x）=（a+1）x2+bx-2（a>0，b>0）在原P（1，f（1））处的切线斜率为4，则z=a2+b2的最小值为 .
4、已知数列{an}和{bn}，设Sn为数列{an}的前n项和，满足a1=2，且对任意m，n∈N*，都有am+n=am·an ， 若 
，则数列{bn}的所有项中的最小值为 .
，则数列{bn}的所有项中的最小值为 . 三、解答题：（共7小题）
1、已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2+4n（n=N*）.
(1)证明数列{nan}为等差数列；
(2)若b=n an·2n ， 求数列{bn}的前n项和Tn.
2、如图在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC= 
，PA=AD=CD=4，AB=2，E为侧棱PD中点.
，PA=AD=CD=4，AB=2，E为侧棱PD中点. 
(1)设F为棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得平面AEF∥平面PBC，并写出证明过程；
(2)求二面角A-PB-C的余弦值.
3、已知函数地f（x）=a（x-1）-（x+1）ln x，a=R.
(1)当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
(2)当x>1时，f（x）<0，求实数a的取值范围.
4、出版商为了解某科普书一个季度的销售量y（单位：千本）和利润x（单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据.
|
序号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
x |
2.4 |
3.1 |
4.6 |
5.3 |
6.4 |
7.1 |
7.8 |
8.8 |
9.5 |
10 |
|
y |
18.1 |
14.1 |
9.1 |
7.2 |
4.9 |
3.9 |
3.2 |
2.3 |
2.1 |
1.4 |
根据上述数据画出如图所示的散点图：
参考公式及参考数据：
①对于一组数据（u1 ， v1），（u2 ， v2），…，（un ， vn），其回归直线 
的斜率和截距的公式分别为 
, 
.
②参考数据：
| | | | | | | |
| 6.50 | 6.63 | 1.75 | 82.50 | 2.70 | -143.25 | -27.54 |
表中ui=Inxi ， 
= 
.另：In4.06≈1.40.计算时，所有的小数都精确到0.01.
(1)根据图中所示的散点图判断y=ax+b和y=clnx+d哪个更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由）；
(2)根据（1）中的判断结果及参考数据，求出y关于x的回归方程；
(3)根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为：（单位：千元），当季销售量y为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？（季利润总额=季销售量×每本书的利润）
5、已知点F为抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点，点M、N在抛物线上，且M、N、F三点共线.若圆P:（x-2）2+（y-3）2=16的直径为MN.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线l与抛物线交于点A，B，分别过A、B两点作抛物线C的切线l1 ， l2 ， 证明直线l1 ， l2的交点在定直线上，并求出该直线.
6、在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： 
（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立根坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+ 
）= 
.
（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立根坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+ ）= .
(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；
(2)M（3，0），直线L和曲线C交于A、B两点，求 
的值.
的值.
7、已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-5|.
(1)求不等式f（x）≤10的解集；
(2)a，b均为正实数，若 
为函数f（x）的最小值，求实数a+2b的取值范围。
为函数f（x）的最小值，求实数a+2b的取值范围。