内蒙古呼和浩特市2019年高三理数第二次质量普查调研考试试卷_试卷库

内蒙古呼和浩特市2019年高三理数第二次质量普查调研考试试卷

年级：学科：数学类型：来源：91题库

一、单选题（共12小题）

1、6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）

A . 40 B . 50 C . 60 D . 70

2、设集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

3、瑞士著名数学家欧拉发现公式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知， $\text{[math]}$ 表示的复数在复平面中位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

4、函数 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

5、已知椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是椭圆上的动点，若 $\text{[math]}$ 的最大可以取到120°，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

6、已知某种品牌的节能灯使用寿命超过 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，而使用寿命超过 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，某家庭的该品牌节能灯已经使用了 $\text{[math]}$ ，则其寿命超过 $\text{[math]}$ 的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

7、执行如图所示的程序框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

8、设 $\text{[math]}$ 为两个非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角，已知对任意实数 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 的最小值为1.则（）

A . 若 $\text{[math]}$ 确定，则| $\text{[math]}$ |唯一确定 B . 若| $\text{[math]}$ |确定，则 $\text{[math]}$ 唯一确定 C . 若 $\text{[math]}$ 确定，则| $\text{[math]}$ |唯一确定 D . 若| $\text{[math]}$ |确定，则 $\text{[math]}$ 唯一确定

9、我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则堑堵 $\text{[math]}$ 的外接球的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

10、已知函数 $\text{[math]}$ ，把函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 恰有两个不同的实根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

11、过坐标轴上一点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

12、设函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的函数，且对任意的实数 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 在上有且仅有三个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

二、填空题（共4小题）

1、已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足不等式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 最大值为 .

2、用半径为 $\text{[math]}$ ，圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为 $\text{[math]}$ .

3、已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 三个内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值等于 .

4、以下四个命题：①设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的充要条件；②已知命题 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足“ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ”真，“ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ”也真，则“ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ”假；③若 $\text{[math]}$ ，则使得 $\text{[math]}$ 恒成立的 $\text{[math]}$ 的取值范围为{ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ }；④将边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折起，使得 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ .其中真命题的序号为 .

三、解答题（共7小题）

1、设 $\text{[math]}$ 是等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列， $\text{[math]}$ .

(1)求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；

(2)设 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

2、随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活，在家里不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，所以选择网购的人数在逐年增加.某网店统计了2014年一2018年五年来在该网店的购买人数 $\text{[math]}$ （单位：人）各年份的数据如下表：

年份（ $\text{[math]}$ ）	1	2	3	4	5
$\text{[math]}$	24	27	41	64	79

(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ （单位：年）的关系，请通过计算相关系数 $\text{[math]}$ 加以说明，（若 $\text{[math]}$ ，则该线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

附：相关系数公式 $\text{[math]}$

参考数据 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(2)该网店为了更好的设计2019年的“双十一”网购活动安排，统计了2018年“双十一”期间8个不同地区的网购顾客用于网购的时间x（单位：小时）作为样本，得到下表

地区	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
时间	0.9	1.6	1.4	2.5	2.6	2.4	3.1	1.5

①求该样本数据的平均数 $\text{[math]}$ ；

②通过大量数据统计发现，该活动期间网购时间 $\text{[math]}$ 近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，如果预计2019年“双十一”期间的网购人数大约为50000人，估计网购时间 $\text{[math]}$ 的人数.

（附：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

3、在如图所示的几何体中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

(1)平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

(2)在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长度；若不存在，请说明理由.

4、抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线 $\text{[math]}$ ，一光源在点 $\text{[math]}$ 处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点 $\text{[math]}$ ，反射后，又射向抛物线上的点 $\text{[math]}$ ，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线 $\text{[math]}$ 上的 $\text{[math]}$ 点，再反射后又射回点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的坐标分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1)证明： $\text{[math]}$ ；

(2)若四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，且点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ .求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

5、已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）令 $\text{[math]}$

①当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

②若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的所有取值集合与 $\text{[math]}$ 的关系；

（Ⅱ）记 $\text{[math]}$ ，是否存在 $\text{[math]}$ ，使得对任意的实数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数 $\text{[math]}$ ，若不存在，请说明理由.

6、在直角坐标系中，以原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$