初中数学北师大版八年级下册第一章第一节第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质同步练习_试卷库

初中数学北师大版八年级下册第一章第一节第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质同步练习

年级：学科：类型：同步测试来源：91题库

一、单选题（共8小题）

1、图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，此时双翼的边缘AC、BD与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，则双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度为（）

A . $\text{[math]}$ cm B . $\text{[math]}$ cm C . 27cm D . 54cm

2、如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高， $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

3、如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF=1，则AF的长为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

4、下列说法不正确的是（　）

A . 等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线 B . 等腰直角三角形底边上的高线等于底边的一半 C . 直角三角形中有一个角是30°，则这个角所对的直角边是斜边的一半 D . 等边三角形有一条对称轴

5、如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（）

A . 30° B . 20° C . 15° D . 10°

6、如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为 $\text{[math]}$ 的中点，P为 $\text{[math]}$ 上一点，E为 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ 有下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 为等边三角形；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 其中正确的结论是（）

A . ①②③④ B . ①② C . ①②④ D . ③④

7、如图， $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是（）

A . 等腰三角形 B . 等边三角形 C . 不等边三角形 D . 无法确定

8、如图，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 平分线上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

二、填空题（共7小题）

1、在△ABC中，AC＝3，AB＝ $\text{[math]}$ ，∠BAC＝150°，S_△ABC＝ .

2、如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 .

3、 $\text{[math]}$ 中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=3，则AB= .

4、如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，则折痕BE的长为．

5、如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝

6、如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点.若AD=6，则EP+CP的最小值为 .

7、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么△PQR的周长等于

三、解答题（共5小题）

1、如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．

2、如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线A→C→B行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10 km，∠A=30°∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？

3、如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的点，且 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 边的垂线交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

4、已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．

（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；

（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．

5、点P为等边 $\text{[math]}$ 的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．

(1)如图1，若 $\text{[math]}$ ，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；

(2)如图2，线段AD交PC于点E，

①设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

②求证： $\text{[math]}$ ．

四、综合题（共2小题）

1、如图1，在边长为 $\text{[math]}$ 的等边∆ $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1)求证： $\text{[math]}$ ；

(2)如图2，过点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 引垂线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，试判断 $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 上的位置，并说明理由；

(3)如图3，延长 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，随着 $\text{[math]}$ 点的移动，请判断线段 $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化；若变化，请说明理由；若不变，请求出 $\text{[math]}$ 的值.

2、如图

(1)如图1，已知：在 $\text{[math]}$ ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E. 证明：DE=BD+CE.（提示：由于DE=AD+AE，证明AD=CE，AE=BD即可）

(2)如图2，将（1）中的条件改为：在 $\text{[math]}$ ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且 $\text{[math]}$ ABF和 $\text{[math]}$ ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试证明 $\text{[math]}$ DEF是等边三角形.